Bonsoir,
1) f(x) = (-3x³ + 6x²) exp(-x)
f'(x) = (-3 * 3 * x² + 6 * 2 x) exp(-x) - (-3x³ + 6x²) exp(-x)
f'(x) = (-9x² + 12x + 3x³ - 6x²) exp(-x)
f'(x) = (3x³ - 15x² + 12x) exp(-x)
f'(x) = -3x (-x² + 5x - 4) exp(-x)
2) f'(x) = 3x (x² - 5x + 4) exp(-x)
f'(x) = 3x (x² - 5x + 25/4 + 4 - 25/4) exp(-x)
f'(x) = 3x (x² - 2 * x * 5/2 + 25/4 + 16/4 - 25/4) exp(-x)
f'(x) = 3x ((x - 5/2)² - 9/4) exp(-x)
f'(x) = 3x (x - 5/2 + 3/2) (x - 5/2 - 3/2) exp(-x)
f'(x) = 3x (x - 1) (x - 4) exp(-x)
Le signe de f'(x) est celui de x (x - 1) (x - 4)
Soit négatif sur ]-∞ ; 0] et sur [1 ; 4] et positif sur [0 ; 1] et sur [4 ; +∞[
f est donc décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ;1], décroissante sur [1 ; 4] et croissante [4 ; +∞[
avec f(0) = 0 ; f(1) = 3/e ; f(4) = -96/e⁴
et f'(0) = f'(1) = f'(4) = 0
Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour,
1) f(x) = (-3x^3 + 6x^2 ) e^-x
f de la forme U X V
avec U = -3x^3 + 6x^2 soit U' = -9x^2 + 12x
et V = e^-x soit V' = -e^-x
f' = U'V + UV'
f'(x) = (-9x^2 + 12x) e^-x - (-3x^3 + 6x^2 ) e^-x
f'(x) = (3x^3 - 6x^2 -9x^2 + 12x)e^-x
f'(x) = (3x^3 - 15x^2+ 12x)e^-x
f'(x) = 3x(x^2 -5x + 4)e^-x
2) Variations de f
e^-x >0 donc f'(x) du signe de 3x(x^2 -5x + 4)
Les racines de x^2 - 5x + 4 sont 1 et 4
x -inf 0 1 4 + inf
3x - 0 + + +
x^2 -5x + 4 + + 0 - 0 +
f'(x) - 0 + 0 - 0 +
f décrois 0 crois 1,1 décrois -1,8 crois
vérification avec tracé de la courbe joint
