Bonjour,
Le théorème de Pythagore nous assure que
[tex]\forall x \in \mathbb{R}\\\\cos^2(x)+sin^2(x)=1[/tex]
Nous savons que
[tex]sin(a)=\dfrac{4}{5}\\\\cos(a) < 0[/tex]
Nous avons
[tex]cos^2(a)+sin^2(a)=1\\\\cos^2(a)=1-\dfrac{4^2}{5^2}=\dfrac{25-16}{25}=\dfrac{9}{25}=\dfrac{3^2}{5^2}[/tex]
donc
[tex]|cos(a)|=\dfrac{3}{5}[/tex]
et comme cos(a)<0, nous avons
[tex]\boxed{\boxed{\boxed{cos(a)=-\dfrac{3}{5}}}}[/tex]
Procédons de même avec a+b
[tex]cos^2(a+b)=\dfrac{29^2-21^2}{29^2}=\dfrac{(29-21)(29+21)}{29^2}=\dfrac{8*50}{29^2}=\dfrac{20^2}{29^2}\\\\|cos(a+b)|=\dfrac{20}{29}[/tex]
Comme cos(a+b)<0
[tex]\boxed{\boxed{\boxed{cos(a+b)=-\dfrac{20}{29}}}}[/tex]
Maintenant nous savons que
[tex]sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\\\\cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)[/tex]
Ce qui nous donne
[tex]4cos(b)-3sin(b)=\dfrac{5*21}{29}\\\\3cos(b)+4sin(b)=\dfrac{5*20}{29}[/tex]
3*la première ligne - 4*la deuxieme s'écrit
[tex]12cos(b)-9sin(b)-12cos(b)-16sin(b)=\dfrac{3*5*21-4*5*20}{29}\\\\sin(b)=-\dfrac{3*5*21-4*5*20}{29*25}=\dfrac{400-315}{145*5}=\dfrac{17}{145}[/tex]
4*la première ligne + 3*la deuxieme s'écrit
[tex]16cos(b)-12sin(b)+9cos(b)+12sin(b)=\dfrac{4*5*21+3*5*20}{29}\\\\cos(b)=-\dfrac{4*5*21+3*5*20}{29*25}=\dfrac{400-315}{145*5}=\dfrac{144}{145}[/tex]
Merci
