Bonjour,
1 ) Le point M se déplace entre A (x = 0) et B (x = 8)
D'où 0 ≤ x ≤8
2 ) A(x) = Aire(MNPQ) = Aire (ABCD) - Aire(AMQ) - Aire(BNM) - Aire (CPN) - Aire (DQP)
Or Aire(AMQ) = Aire(BNM) = Aire (CPN) = Aire (DQP) = AM . AQ / 2 = x (8 - x) / 2
D'où A(x) = 8² - 4 * x (8 - x) / 2
On encore A(x) = 64 - 2x (8 - x)
3 ) on a A(x) = 64 - 2x (8 - x)
⇒ A(x) = 64 - 16x + 2x²
⇒ A(x) = 32 - 16x + 2x² + 32
⇒ A(x) = 2 (16 - 8x + x²) + 32
⇒ A(x) = 2 (4² - 2 * 4 * x + x²) + 32
⇒ A(x) = 2 (4 - x)² + 32
⇒ A(x) = 2 (x - 4)² + 32
A(4) = 2 (4 - 4)² + 32 = 32
A(x) - A(4) = 2 (x - 4)² + 32 - 32 = 2 (x - 4)²
Pour tout x dans IR, on a (x - 4)² ≥ 0
D'où A(x) - A(4) ≥ 0 pour tout 0 ≤ x ≤8
La valeur minimale de A(x) - A(4), soit 0, est obtenue pour x = 4
On en déduit que l'aire minimale A(x) est obtenue pour x = 4.
Cette aire est A(4) = 32 cm²
5 ) A(x) = 34 ⇔ 2 (x - 4)² + 32 = 34
⇔ 2 (x - 4)² = 2
⇔ (x - 4)² = 1
⇔ x - 4 = 1 (car x ≥ 0)
⇔ x = 5
6a ) A(x) ≤ 40 ⇔ 2 (x - 4)² + 32 ≤ 40
⇔ 2 (x - 4)² ≤ 8
⇔ (x - 4)² ≤ 4
⇔ (x - 4)² - 4 ≤ 0
b ) (x - 4)² - 4 ≤ 0
⇔ (x - 4)² ≤ 2²
⇔ -2 ≤ x - 4 ≤ 2
⇔ -2 ≤ x - 4 ou x - 4 ≤ 2
⇔ 2 ≤ x ou x ≤ 6
⇔ 2 ≤ x ≤ 6
L'aire de MNPQ est inférieure à 40 cm² si et seulement si 2 ≤ x ≤ 6
