adja8103
Answered

Laurentvidal.fr simplifie la recherche de solutions à toutes vos questions grâce à une communauté active et experte. Rejoignez notre plateforme de questions-réponses pour obtenir des réponses précises à toutes vos interrogations de la part de professionnels de différents domaines. Explorez des milliers de questions et réponses fournies par une large gamme d'experts dans divers domaines sur notre plateforme de questions-réponses.

EXERCICE 2:
1. Etudier suivant les valeurs de l'existence et le signe des solutions de l'équation (m + 2)x² - (m + 4)x+ 2 − m = 0 du second degré et qu'elle admet des solutions x₁ et x2 (X1# X2 Ou relation indépendante de m entre x1 et x2.
2. Lorsque l'équation X1=X2), établir une relation indépendante de m entre x1 et x2
3. Retrouver à l'aide de cette relation les solutions doubles de cette équation.
4. Déterminer m pour que la somme des inverses des solutions soit égale à 1/5​

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

Les premières questions ne sont pas claires.

Que pouvons-nous dire des solutions de cette équation?

Nous avons l'équation suivante, à résoudre sur x où m est un paramètre.

[tex](m+2)x^2-(m+4)x+2-m=0[/tex]

Nous reconnaissons une équation du second degré du type

[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]

Où

[tex]a=m+2\\\\b=-(m+4)\\\\c=2-m[/tex]

Pour être précis, c'est une équation du second degré si a est différent de 0.

Tout d'abord, si a= m+2=0, cela revient à une équation du premier degré

Pour m=-2, nous avons 2+m=0 et l'équation devient

-(-2+4)x+2-(-2)=-2x+4=0

Et il y a une solution unique x = 2

Maintenant, prenons m différent de -2, il s'agit d'une équation du second degré et nous avons une méthode du cours pour les résoudre.

Le discriminant s'écrit

[tex]\Delta=b^2-4ac=(m+4)^2-4(m+2)(2-m)=m^2+8m+16+4m^2-16=5m^2+8m\\\\\Delta = m(5m+8)[/tex]

Une rapide étude de signes montre que cette expression est négatif strictement pour m sur ]-8/5;0[ et positif ailleurs.

De ce fait,

pour m dans ]-8/5;0[, le discriminant est strictement négatif, il n'y a pas de solution.

pour m = -8/5, il y a une solution qui est

[tex]-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{m+4}{2(m+2)}=\dfrac{20-8}{2(10-8)}=3[/tex]

pour m = 0, il y a une solution qui est

[tex]-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{m+4}{2(m+2)}=\dfrac{4}{2*2}=1[/tex]

pour m =2 nous avons déjà vu qu il y a une solution qui est 2

Pour m différent de -2 et

[tex]m \in ]-\infty;-\dfrac{8}{5}[\cup ]0;+\infty[[/tex]

Le discriminant est strictement positif, nous avons deux solutions [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]

[tex]x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{m+4}{m+2}\\\\x_1*x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2-m}{2+m}\\\boxed{x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{m+4-\sqrt{m(5m+8)}}{2(m+2)}}\\\\\boxed{x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{m+4+\sqrt{m(5m+8)}}{2(m+2)}}[/tex]

Une rapide étude de signes montre que le produit des racines est positif entre -2 et 2 et négatif ailleurs.

Donc les deux racines sont de signes distinctes pour

[tex]m\in ]-\infty;-2[\cup ]2;+\infty[[/tex]

Elles sont de même signe pour

[tex]m \in ]-2;-\dfrac{8}{5}[\cup]0;2[[/tex]

pour m=2 une des racines est nulle.

Evaluons la sommes des inverses des racines, pour

[tex]m \in ]-\infty;-2[\cup]-2;-\dfrac{8}{5}[\cup ]0;2[\cup]2;+\infty[[/tex]

[tex]\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1*x_2}=-\dfrac{b}{a}*\dfrac{a}{c}=-\dfrac{b}{c}\\\\=\dfrac{m+4}{2-m}[/tex]

Pour que cette somme soit égale à 1/5 cela donne 5(m+4)=2-m ce qui donne m=-3

Merci

Merci d'utiliser notre plateforme. Nous sommes toujours là pour fournir des réponses précises et à jour à toutes vos questions. Merci d'utiliser notre plateforme. Nous nous efforçons de fournir des réponses précises et à jour à toutes vos questions. Revenez bientôt. Merci de visiter Laurentvidal.fr. Revenez souvent pour obtenir les réponses les plus récentes et des informations.