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Exercice 2. Fonction exponentielle
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x + 1 + xe-*.
On note Crsa courbe représentative dans un repère du plan.
1) Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = ex - x + 1.
a) On note g' la dérivée de g. Déterminer, pour tout réel x, l'expression de g'(x).
b) Etudier les variations de la fonction g sur R.
c) En déduire le signe de g(x) sur R
2) a) Démontrer que, pour tout réel x, on f'(x) = e-*g(x).
b) Etudier les variations de la fonction f sur R.
3) Déterminer l'équation réduite de la tangente à C, au point d'abscisse 0.

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1) Etude de g(x)

g(x)=e^x   -x+1

g(x) est définie sur R

limites

si x tend vers -oo g(x) tend vers +oo

si x tend vers +oo, g(x) tend vers +oo

dérivée: g'(x)=e^x  -1

g'(x)=0 pour x=0

Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x    -oo                                    0                                     +oo

g'(x)                        -                0                 +

g(x)+oo       Décroît                 2             Croît               +oo

On note que g(x) est toujours >0

2)Etude de f(x)=x+1+xe^x

Df=R

limites (croissances comparées)

si x tend vers -oo , f(x) tend vers -oo

si x tend vers  +oo, f(x) tend vers +oo    

Dérivée f'(x)=  1+e^-x-x*e^-x=1+(e^-x)(1-x)=1+(1-x)/(e^x)=(e^x-x+1)/(e^x)

donc f'(x)=g(x)/(e^x)

le terme e^x étant toujours>0

On en déduit que la dérivée f'(x) est toujours >0;donc que la fonction f(x) est croissante sur R et que f(x)=0 a une et une seule solution.

( solution non demandée)

3)Equation de le tangente: on applique la formule.

y=f'(0)(x-0)+f(0) =g(0)(x-0)+f(0)=2x+1

y=2x+1

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