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Puvez vous m aidez?
Soit ABC un triangle. On appelle O le point d'intersection des médiatrices des côtés du triangle. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
On note K le milieu de [BC]. On appelle M le point défini par : OM=OA+OB+ OC.
1. Montrer que OB + OC = 2 OK.
2. Montrer que AM = OB+OC.
3. Que peut-on en déduire pour les vecteurs AM et OK?
4. Montrer que la droite (AM) est la hauteur du triangle issue de A.
5. On admet que par symétrie, la droite (BM) est la hauteur du triangle issue de B, et la droite (CM) est la hauteur issue de C. Quel point remarquable du triangle ABC est le point M?

Sagot :

Réponse :

Soit ABC un triangle. On appelle O le point d'intersection des médiatrices des côtés du triangle. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

On note K le milieu de [BC]. On appelle M le point défini par : OM=OA+OB+ OC.

1. Montrer que OB + OC = 2 OK.

d'après la relation de Chasles

vec(OB) + vec(OC) = vec(OK) + vec(KB) + vec(OK) + vec(KC)

                               = 2 x vec(OK)   car  vec(KB) + vec(KC) = 0   K milieu de (BC)

on obtient  vec(OB) + vec(OC) = 2vec(OK)

2. Montrer que AM = OB+OC.

d'après la relation de Chasles

vec(AM) = vec(AO) + vec(OM)

              = vec(AO) + vec(OA) + vec(OB) + vec(OC)

              = - vec(AO) + vec(OA) + vec(OB) + vec(OC)

              = vec(OB) + vec(OC)

donc  vec(AM) = vec(OB) + vec(OC)

3. Que peut-on en déduire pour les vecteurs AM et OK?

puisque vec(OB) + vec(OC) = 2vec(OK)  et vec(AM) = vec(OB) + vec(OC)

donc  vec(AM) = 2vec(OK)  on en déduit donc que les vecteurs AM et OK sont colinéaires

4. Montrer que la droite (AM) est la hauteur du triangle issue de A.

puisque les vecteurs AM et OK sont colinéaires donc les droites (AM) et (OK) sont parallèles  et puisque (OK) est perpendiculaire car OK étant la médiatrice de (BC)  donc la droite (AM) est perpendiculaire à (BC) donc (AM) est la hauteur du triangle ABC issue de A

 

5. On admet que par symétrie, la droite (BM) est la hauteur du triangle issue de B, et la droite (CM) est la hauteur issue de C. Quel point remarquable du triangle ABC est le point M?

le point remarquable  M du triangle ABC  qui est le point de concours des hauteurs  donc M est l'orthocentre  

Explications étape par étape :