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Sagot :
Bonsoir, voici la réponse à ton exercice :
· Équation cartésienne du segment [AB]
On sait qu'une droite [tex]d[/tex] de vecteur normal n(a, b) a une équation cartésienne de la forme [tex]ax + by + c = 0[/tex], où [tex]c[/tex] est un nombre réel.
Sachant que le vecteur [tex]AB[/tex] est normal au segment [AB], alors on va calculer ses coordonnées, tel que :
[tex]AB(x_B - x_A, y_B - y_A)[/tex]
⇒ [tex]AB(2 - 4, 6 - 2)[/tex]
⇒ [tex]AB(-2, 4)[/tex]
On remplace donc [tex]a[/tex] par - 2 et [tex]b[/tex] par 4 dans l'équation [tex]ax + by + c = 0[/tex].
On se retrouve donc avec : [tex]-2x + 4y + c = 0[/tex].
Pour déterminer [tex]c[/tex], il faut remplacer [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] par les coordonnées d'un point du segment. Sachant que le point I, le milieu de [AB], passe par cette droite, on peut calculer ses coordonnées et vérifier, tel que :
[tex]I : (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})[/tex]
[tex]I : (3, 4)[/tex]
Puis on remplace :
[tex]-2 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + c = 0[/tex]
⇔ [tex]- 6 + 16 + c = 0[/tex]
⇔ [tex]c = -10[/tex]
On a donc une équation cartésienne de [AB] est [tex]-2x + 4y - 10 = 0[/tex].
· Équation cartésienne de [AC]
Sachant que le vecteur [tex]AC[/tex] est normal au segment [AC], alors on va calculer ses coordonnées, tel que :
[tex]AC(x_C - x_A, y_C - y_A)[/tex]
⇒ [tex]AC(-2 - 4, 2 - 2)[/tex]
⇒ [tex]AC(-6, 0)[/tex]
On remplace donc [tex]a[/tex] par - 6 et [tex]b[/tex] par 0 dans l'équation [tex]ax + by + c = 0[/tex].
On se retrouve donc avec : [tex]-6x + c = 0[/tex].
Sachant que le point I', le milieu de [AC], passe par cette droite, on peut calculer ses coordonnées et vérifier, tel que :
[tex]I' : (\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2})[/tex]
[tex]I' : (1, 2)[/tex]
Puis on remplace :
[tex]-6 \cdot 1 + c = 0[/tex]
⇔ [tex]c = 6[/tex]
On a donc une équation cartésienne de [AC] est [tex]-6x + 6 = 0[/tex].
· Point d'intersection O des deux droites
Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites, il suffit de résoudre le système d'équations cartésiennes de ces deux dernières.
On aura donc :
[tex]\left \{ {{-2x + 4y - 10= 0} \atop {-6x + 6 = 0}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{-2 \cdot1 + 4y - 10 = 0} \atop {x=1}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=3} \atop {x=1}} \right.[/tex]
Donc les coordonnées du point d'intersection O sont (1, 3).
· Calcul de la longueur OA
On a O(1, 3) et A(4, 2). Pour calculer la distance du point O au point A, on va utiliser la formule suivante :
[tex]OA = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2}[/tex]
[tex]OA = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - 3)^2}[/tex]
[tex]OA = \sqrt{9 + 1}[/tex]
[tex]OA = \sqrt{10}[/tex]
· Équation cartésienne du cercle de centre O et de rayon OA
On considère un point Δ([tex]x_\Delta, y_\Delta[/tex]) et un nombre positif [tex]r[/tex], le cercle [tex]C[/tex] de centre Δ et de rayon [tex]r[/tex] a pour équation cartésienne :
[tex]M\in C[/tex]
⇔ [tex]\Delta M^2 = r^2[/tex]
⇔ [tex](x - x_\Delta)^2 + (y - y_\Delta)^2 = r^2[/tex]
Dans notre cas, le cercle [tex]C_O[/tex] de centre O et de rayon OA a pour équation cartésienne :
[tex]C_O : (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 10[/tex]
· B,C [tex]\in[/tex] [tex]C_\Delta[/tex] ?
Afin de vérifier si un point appartient à un cercle, il nous suffit de remplacer les [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] de l'équation cartésienne par les coordonnées du point afin de voir si l'équation est vérifiée pour ce point. On aura donc :
→ Pour le point B :
[tex](2 - 1)^2 + (6 - 3)^2 = 10[/tex]
⇔ [tex]1 + 9 = 10[/tex]
⇔ [tex]10 = 10[/tex]
Donc le point B appartient au cercle [tex]C_O[/tex].
→ Pour le point C :
[tex](-2 - 1)^2 + (2 - 3)^2 = 10[/tex]
⇔ [tex]9 + 1 = 10[/tex]
⇔ [tex]10 = 10[/tex]
Donc le point C appartient au cercle [tex]C_O[/tex].
En espérant t'avoir aidé au maximum !
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