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Bonjour,

J’ai du mal avec l’affirmation 1, exercice 2 svp, voir photo. Je ne sais comment transformer ma fonction pour pouvoir trouver sa limite sans être confronté à une forme indéterminé…
Merci de votre aide!

Bonjour Jai Du Mal Avec Laffirmation 1 Exercice 2 Svp Voir Photo Je Ne Sais Comment Transformer Ma Fonction Pour Pouvoir Trouver Sa Limite Sans Être Confronté À class=

Sagot :

broucealways

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonsoir, ta fonction est particulière, car elle est constituée d'un quotient, de 2 fonctions différentes. Il existe une technique (difficile d'y penser puisqu'en cours, on ne l'apprend pas forcément), lorsqu'on est confronté à des quotients comme celui-là : Factoriser par le terme dominant, que ce soit au numérateur, et au dénominateur.

Il te faudra donc factoriser par l'exponentielle de chaque côté :

[tex]g(x) = \frac{e^x+1}{e^x-1} = \frac{e^x(1+\frac{1}{e^x}) }{e^x(1-\frac{1}{e^x}) }[/tex]

Je te l'accorde, factoriser de cette façon peut sembler abscons, mais ça permet de débloquer bon nombre de situations. En développant, tu retomberas sur ta fonction g.

Ensuite, tu peux diviser par exp(x). On peut le justifier, car pour tout x réel, la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Il en résultera :

[tex]g(x) = \frac{1+\frac{1}{e^x} }{1-\frac{1}{e^x} }[/tex]

Tu peux le constater, la forme indéterminée ne l'est plus, tout coule de source, par quotient de limites :

[tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{1}{e^x} }{1-\frac{1}{e^x} } = \frac{1+0}{1-0} = 1[/tex]

Conserve cette astuce dans un coin de ta tête, elle te sauvera bon nombre de fois. L'affirmation est donc fausse, g admet une asymptote d'équation y = 1 en + infini, et non -1.

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