Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir,
1) a) U1 = (2X1/2) /(2 + 7X1/2) = 2 /11
U2 = (2X2/11) /(2 + 7X2/11) = 1 /9
b) U1 - U0 = -7/22 et U2 - U1 = -7/99
Donc la suite n'est pas arithmétique
U1 / U0 =4/11 et U2 / U1 =11/18
Donc la suite n'est pas géométrique
2)a) Vn = (2-Un) / Un
donc Vn+1 = (2 - Un+1) / Un+1
Vn+1 = ( 2 - 2Un/(2+7Un) ) (2Un/(2+7Un)
Vn+1 = 2(2+7Un) - 2Un / 2Un
Vn+1 = (4 + 14Un - 2Un) / 2Un
Vn+1 = (4 + 12Un) / 2Un
Vn+1 = (2 + 6Un) / Un
calculons Vn+1 - Vn
Vn+1 - Vn = (2+ 6Un) / Un - (2-Un) / Un
= (2 + 6Un - 2 + Un ) / Un
= 7
Donc Vn est une suite arithmétique de raison r =7
et de 1er terme V0 = (2 -Uo) / U0 = 3
b) Vn = 3 + 7n
3) a) Vn = (2-Un) / Un
Vn X Un = 2 - Un
Vn X Un + Un = 2
Un ( Vn + 1) = 2
Un = 2 / (Vn +1)
U n = 2 /( 3+7n+1)
Un = 2 / (4+7n)
On trouve bien Un = 2 / (7n + 4)
b) f(x) = 2 /(7x + 4)
f'(x) = -14 (7x + 4)²
f'x) < 0 donc f est décroissante sur R+
La suit Un est donc décroissante