Bonjour,
Trop long, je fais VII et VIII et je te propose de reposter le IX
VII
On utilise le théorème de l'angle au centre:
Tout angle au centre mesure le double de l'angle inscrit interceptant le même arc.
Ce théorème nous permet aussi de déduire le théorème de l'angle inscrit : Deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même mesure.
2) La somme des angles d'un triangle est égale à 180°
D'où BAC = 180° - ABC - ACB = 180° - 50° - 60° = 70°
Soit O le centre du cercle (C). On note r le rayon du cercle (C)
On a AOB = 2 ACB = 120°
D'où mes(AB) = (120°/360°) Périmètre(C) = Périmètre(C) / 3 = 2π r / 3
De même, mes(AC) = (100°/360°) Périmètre(C) = 5π r / 9
Et on en conclut mes(BC) = 2π r - 2π r / 3 - 5π r / 9 = (2 - 2/3 - 5/9) π r = 7 π r / 9
3) On a BAM = BAN = 70° /2 = 35°
et AMB = 180° - BAM - ABM
D'où AMB = 180° - 35° - 50° = 95°
On en déduit que BMN = 180° - AMB = 85°
D'après le th. de l'angle inscrit, on a NBC = NAC = BAC/2 = 35°
Soit NBM = 35° (car NBM = NBC)
On en déduit que BMN = 180° - BMN - NBM = 180° - 85° - 35° = 60°
VIII
1) ORQ est rectangle en O
De plus, POR = BOR - BOP = 90° - 30° = 60°
Or OP = OR, donc OPR est un triangle équilatéral.
D'où OPR = 60° et donc OPQ = 120°
Ce qui nous permet de déduire que PQO = 30°
D'où PQ = OP
On en conclut que RQ = 2 OP = AB = 6 cm
2) Soit P' le symétrique de P par rapport à O
On a OP = OP'
O est donc à la fois le milieu de [AB] et de [PP']
APBP' est donc un rectangle
D'où BAP est un triangle rectangle en P.
