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Sagot :
Réponse :
Exercice 1
Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes :
In(2x-1)= In(3x+3);
* conditions d'existence
2 x - 1 > 0 ⇔ x > 1/2
et
3 x + 3 > 0 ⇔ x > - 1
donc x ∈ ]1/2 ; + ∞[
ln(2 x - 1) = ln(3 x + 3) ⇔ 2 x - 1 = 3 x + 3 (car ln(a) = ln(b) ⇔ a = b)
⇔ - 1 - 3 = x ⇔ x = - 4 ∉ ]1/2 ; + ∞[ ⇒ l'équation n'admet pas de solution
In(x-1)+ln(x+1)= ln(x+2);
* conditions d'existence
x - 1 > 0 ⇔ x > 1
x + 1 > 0 ⇔ x > - 1
x + 2 > 0 ⇔ x > - 2
donc x ∈ ]1 ; + ∞[
In(x-1)+ln(x+1)= ln(x+2) ⇔ ln((x-1)*(x+1)) = ln(x+2)
⇔ e^ln((x-1)*(x+1)) = e^ln(x+2) ⇔ (x-1)(x+1) = x + 2
⇔ x² - 1 = x + 2 ⇔ x² - x - 3 = 0
Δ = 1 + 12 = 13 > 0 ⇒ 2 racines ≠
x1 = (1 + √13)/2 ∈ ]1 ; + ∞[
x2 = (1 - √13)/2 ∉ ]1 ; + ∞[
donc l'équation admet une seule solution sur ]1 ; + ∞[
In(x-1)-In(3-x) ??
In(1-x)-In(2x + 3) ≥ In(x-2).
* conditions d'existence
1 - x > 0 ⇔ x < 1
2 x + 3 > 0 ⇔ x > - 3/2
x - 2 > 0 ⇔ x > 2
il est impossible de vérifier en même temps les conditions d'existence donc l'équation n'a pas de solutions
EX.2
Soit le polynôme f(x)= x³ - 2x²-x+2
1) Calculer f(1) puis factoriser complètement f(x)
f(1) = 1³ - 2*1² - 1 + 2 = 0 ⇒ 1 est une solution évidente
(x - 1)(a x² + b x + c) = a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c
= a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c
a = 1
b-a = - 2 ⇔ b = - 2 + a = - 2 + 1 = - 1
c-b = - 1
- c = 2 ⇔ c = - 2
donc f(x) = (x - 1)(x² - x - 2)
ex.3
In(2x-1)+2ln(x + 1) = ln(x-1)
2) Résoudre dans IR l'équation (In x)³ - 2(In x)² - In x + 2 = 0 puis
l'équation f(ln(x+2)) = 0.
* condition d'existence
x > 0 ⇔ x ∈ ]0 ; + ∞[
posons X = ln(x) avec X > 0
on obtient X³ - 2 X² - X + 2 = 0
on a déjà vu en 2.1 donc (X - 1)(X² - X - 2) = 0 produit nul
X = 1 ⇒ ln(x) = 1 ⇔ ln(x) = lne^1 ⇔ x = e donc e est une solution de l'équation
X² - X - 2 = 0
Δ = 1+8 = 9 > 0 ⇒ 2 racines ≠
X1 = 1 + 3)/2 = 2 ⇒ ln(x) = 2 ⇔ ln(x) = lne^2 ⇔ x = e^2
X2 = 1 - 3)/2 = - 1 pas de solution
f(
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