soufianehamdine
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EXERCICE : Utilisez le raisonnement par disjonction de cas et montrer que : ( 3 ne divise pas n ) → ( 3 divise n² - 1 )​

Sagot :

jpmorin3

bonjour

si 3 ne divise pas n  alors     n = 3k + 1    ou   n = 3k + 2     (k entier)

1er cas

si n = 3k + 1   alors    n² - 1 = (3k + 1)² - 1

                                          = 9k² + 6k + 1 - 1

                                          = 9k² + 6k

                                          = 3(3k² + 2k)

 n² - 1 produit de 3 par l'entier (3k² + 2k) est divisible par 3

2e cas

si n = 3k + 2  alors    n² - 1 = (3k + 2)² - 1

                                          = 9k² + 12k + 4 - 1

                                          = 9k² + 12k + 3

                                          = 3(3k² + 4k + 1)    multiple de 3 par

                                                                        l'entier 3k² + 4k + 1

c'est un multiple de 3, il est donc divisible par 3

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