Réponse :
h(x) = x² - ln x définie sur ]0 ; + ∞[
1) montrer que h '(x) = (2 x² - 1)/x pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[
h est une fonction somme dérivable sur ]0 ; + ∞[ et sa dérivée h' est :
h '(x) = 2 x - 1/x = (2 x² - 1)/x
2) étudier le signe de h'(x) sur ²]0 ; + ∞[
h '(x) = (2 x² - 1)/x or x > 0 donc le signe de h '(x) dépend du signe de
2 x² - 1 = 2(x² - 1/2) = 2(x² - (√1/2)²) = (x + 1/√2)(x - 1/√2) or x + 1/√2 > 0
donc finalement le signe de h'(x) est du signe x - 1/√2
x 0 1/√2 + ∞
h '(x) - 0 +
3) vérifier que h(1/√2) = (1+ln2)/2 et dresser le tableau de variation de h
h(1/√2) = (1/√2)² - ln (1/√2)
= 1/2 - (ln 1 - ln √2)
= 1/2 - ln 1 + ln √2
= 1/2 - 0 + ln (2)^1/2
= 1/2 + 1/2) ln 2
= (1 + ln2)/2
x 0 1/√2 + ∞
h(x) →→→→→→→→→→→(1+ln2)/2 →→→→→→→
décroissante croissante
4) en déduire que h(x) > 0 pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[
puisque h(1/√2) = (1+ln2)/2 > 0 et il est le minimum de la fonction h
par conséquent; pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ on en déduit que h(x) > 0
Explications étape par étape :
