2bonjour
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
soient trois entiers consécutifs n - 1 ; n ; n + 1
et S la somme de leurs cubes
S = (n - 1)³ + n³ + (n + 1)³
S = n³ - 3n² + 3n -1 + n + n³ + 3n² + 3n + 1
S = 3n³ + 6n
S = 3n(n² + 2)
S = 3n(n² + 2) S est divisible par 3
on considère le produit n(n² + 2)
1er cas
n est multiple de 3 ; n = 3k k entier
S est divisible par 9
2e cas
n est (multiple de 3) + 1 ; n = 3k + 1
n² + 2 = (3k + 1)² + 2 = 9k² + 6k + 1 + 2
= 9k² + 6k + 3
= 3(3k + 2k + 1)
n² + 1 est multiple de 3
S est divisible par 9
3e cas
n est (multiple de 3 + 2) ; n = 3k + 2
n² + 2 = (3k + 2)² + 2 = 9k² + 12k + 4 + 2
= 9k² + 12k + 6
= 3(3k² + 6k + 2)
S est divisible par 9
