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On considère le cas d’un fabricant d’automobiles qui propose deux modèles à la vente, des grosses voitures et des petites voitures. Les voitures de ce fabriquant sont tellement à la mode qu’il est certain de vendre tout ce qu’il parvient à produire, au moins au prix catalogue actuel de 18000 euros pour les grosses voitures, et 11000 euros pour les petites voitures. Son problème vient de l’approvisionnement limité en deux matières premières, le caoutchouc et l’acier. La construction d’une petite voiture nécessite l’emploi d’une unité de caoutchouc et d’une unité d’acier, tandis que celle d’une grosse voiture nécessite une unité de caoutchouc mais deux unités d’acier. Sachant que son stock de caoutchouc est de 450 unités et son stock d’acier de 550 unités, combien doit-il produire de petites et de grosses voitures au moyen de ces stocks afin de maximiser son chiffre d’affaire?​

Sagot :

Mozi

Bonsoir,

Le constructeur dispose de 450 unités de caoutchouc et 550 unités d'acier.

On note x le nombre de grandes voitures.

On note que 0 ≤ x ≤ 550/2 soit 0 ≤ x ≤ 225

Pour fabriquer x grandes voitures, on consomme 2x unités d'acier et x unités de caoutchouc.

Il reste donc 450 - x unités de caoutchouc et 550 - 2x unités d'acier pour les petites voitures,

On note que les fonctions x → 450 - x et x → 550 - 2x sont toutes les deux décroissantes et se coupent au point (100 ; 350)

Bien entendu, on obtient ce résultat en résolvant l'équation

450 - x = 550 - 2x ⇔ 2x - x = 550 - 450

L'élément limitant est donc le caoutchouc jusqu'à 100 grandes voitures. Au delà, c'est le nombre d'unités d'acier qui va limiter le nombre de petites voitures.

Pour 0 ≤ x ≤ 100, le nombre d'unités de caoutchouc disponibles pour les petites voitures est donné par la formule 450 - x

Dans ce cas, le prix total de vente (en 1000 Euros ) est:

P(x) = 18x + 11 (450 - x) = 7x + 4 950

Il s'agit d'une fonction affine de coefficient directeur positif. Elle est par conséquent croissante et son maximum sur [1 ; 100] est atteint pour x = 100 soit P(100) = 5 650

Pour 100 ≤ x ≤ 225, c'est l'acier qui détermine le nombre de petites voitures et le nombre d'unités disponibles pour les petites voitures est donné par la formule 550 - 2x

Dans ce cas, le prix total de vente (en 1000 Euros ) est:

P(x) = 18x + 11 (550 - 2x) = 6 050 - 4x

Cette fois la fonction affine est décroissante. Le maximum est donc atteint en x = 100  et on a P(100) = 5 650

Conclusion:

Afin de maximiser son chiffre d’affaire, le constructeur doit fabriquer 100 grandes voitures et 350 petites voitures.

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