hudsonpresley
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par combien de zéro se termine 100 factoriels​

Sagot :

Mozi

Bonjour,

100! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9

x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18 x 19

x 20 x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26 x 27 x 28 x 29

x 30 x 31 x 32 x 33 x 34 x 35 x 36 x 37 x 38 x 39

x 40 x 41 x 42 x 43 x 44 x 45 x 46 x 47 x 48 x 49

x 50 x 51 x 52 x 53 x 54 x 55 x 56 x 57 x 58 x 59

x 60 x 61 x 62 x 63 x 64 x 65 x 66 x 67 x 68 x 69

x 70 x 71 x 72 x 73 x 74 x 75 x 76 x 77 x 78 x 79

x 80 x 81 x 82 x 83 x 84 x 85 x 86 x 87 x 88 x 89

x 90 x 91 x 92 x 93 x 94 x 95 x 96 x 97 x 98 x 99 x 100

Les "0" correspondent à des multiples de 10 soit des multiples de 2 x 5 (qui sont deux nombre premiers).

Vu que les multiples de 2 sont beaucoup plus nombreux dans 100!, il suffit de compter la puissance de 5 dans la décomposition de ce nombre soit:

2 x "5" dans les multiples de 25 soit : 25 ; 50 ; 75 ; 100

La décomposition de chacun de ces nombres va donner 5²

1 x "5" dans les multiples de 5 qui ne sont pas multiples de 25  soit 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45 ; 55 ; 60 ;  65 ; 70 ; 80 ; 85 ; 90 ; 95.

La puissance de 5 dans 100! est donc 2 x 4 + 16 = 24

100! se termine donc par 24 zéros.

View image Mozi

Bonsoir,

Par combien de zéro se termine 100 factoriels​ ?

100/5 = 20

100/25= 4

Ensuite, on additionne les 2 résultats : 20 + 4 = 24

Réponse : 100 factoriels se terminent par 24 zéros. On peut aussi marquer : 100! = 24 zéros.

P-S : Comme il y a un facteur 5 à chaque bon, on a : ( 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...). On obtient alors cette quantité si on divise 100 par 5. En outre, il faut compter le deuxième facteur 5 à tout les nombres 25 (  25 = 5 x 5...)

Voilà j'espère t'avoir aidé et je te souhaite une très bonne soirée !! ( ca rime ;p )

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