Bonjour,
[tex]1) \: \: lim_{x - > + \infty }(x - 2) {e}^{x - 1} - 1[/tex]
On a :
[tex]lim_{x - > + \infty }(x - 2) = + \infty [/tex]
[tex]et \: \: lim_{x - > + \infty } {e}^{x - 1} = + \infty [/tex]
[tex]donc \: lim_{x - > + \infty }(x - 2) {e}^{x - 1} - 1 = + \infty [/tex]
[tex]2) \: \: lim_{x - > - \infty }(x - 2) {e}^{x - 1} - 1[/tex]
On a :
[tex]lim_{x - > - \infty }(x - 2) = - \infty [/tex]
[tex]et \: \: lim_{x - > - \infty } {e}^{x - 1} = 0[/tex]
Ainsi par croissance comparée on trouve :
[tex] lim_{x - > - \infty }(x - 2) {e}^{x - 1} = 0[/tex]
[tex]donc \: lim_{x - > - \infty }(x - 2) {e}^{x - 1} - 1 = - 1[/tex]
Réponse :
Explications étape par étape :
■ g(x) = (x-2)*e^(x - 1) - 1
■ tableau :
x --> -∞ -100 -10 0 1 2 2,28 10 +∞
g ' (x) -> négative 0 positive
g(x) --> -1 -1 -1 -1,736 -2 -1 0 64824 +∞
■ dérivée g ' (x) = e^(x-1 + (x-2)*e^(x-1) = (x-1)*e^(x-1)
on constate bien que la dérivée est nulle pour x = 1 .
■ Limite pour x tendant vers +∞ :
Lim g(x) = Lim x*e^x - 1
or Lim x*e^x = +∞
donc Lim g(x) = +∞ .
■ Limite pour x tendant vers -∞ :
Lim g(x) = Lim x/[ e^(-x) ] - 1
or Lim x/[ e^(-x) ] = 0
donc Lim g(x) = -1 .
■ remarque :
la droite horizontale d' équation y = -1
est une asymptote à gauche pour
la représentation graphique de la fonction g
( qui reste SOUS l' asymptote ! )
