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Bonsoir, j’ai cet exercice auquel je bloque et j’aurais besoin d’aide.
Avant, j’aimerai vous expliquer ce que j’ai compris :
Donc on procède à une somme partant de k=0 jusqu’à n avec la formule qu’on a ci dessous. Je suppose qu’on aura face à une suite géométrique. En ce qui concerne la dérivation, je ne comprends pas ou exactement il faut l’utiliser.
J’ai tenté de conjecturer mais compliqué pour k=0 on a donc 0 pour k=1; x mais comment ça « distinguer le cas pour x=1 » ?
Comment doit-on procéder pour ce type d’exercices.
Merci bcp,

Bonsoir Jai Cet Exercice Auquel Je Bloque Et Jaurais Besoin Daide Avant Jaimerai Vous Expliquer Ce Que Jai Compris Donc On Procède À Une Somme Partant De K0 Jus class=

Sagot :

Réponse : Bonjour,

La série est égale à la dérivée de la somme des x^k, multiplié par x:

[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n} x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\\\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)'=\frac{(-(n+1)x^{n})(1-x)+1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}[/tex]

Donc:

[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k x^{k}=\frac{(-(n+1)x^{n+1})(1-x)+x(1-x^{n})}{(1-x)^{2}}[/tex]

Si [tex]x \in ]-1;1[[/tex], alors:

[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{+ \infty} kx^{k}=\frac{x}{(1-x)^{2}}[/tex]

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