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Soit g la fonction définie sur ]0:+0o[ par g(x)=1-x²-In(x).
1. Calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g.
2. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l'intervalle ]0; +0o[.

Sagot :

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape :

g(x=1-x²-ln x sur ]0; +oo[

limites

si x tend vers 0+, g(x) tend vers +oo

si x tend vers +oo,  g(x) tend vers -oo

Dérivée  g'(x)=-2x-1/x=(-2x²-1)/x

g'(x) est toujours <0 donc g(x) est décroissante

tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x    0                        1                              +oo

g'(x)                           -                            

g(x)  II +oo            décroît                      -oo

On note que g(1)=1-1-0=0

Compte tenu de la monotonie de g(x) et d'après le TVI on peut dire que g(x)=0 a une solution unique qui est x=1

donc g(x)>0 sur  ]0; 1[   et g(x) <0 sur ]1; +oo[  

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