Réponse :
utiliser 8 tonnes de M1 et 6,5 tonnes de M2 permet de réaliser
des Ventes de 9155 k€ avec un Coût de produc de 1020 k€,
donc de dégager un Bénéf de 8,125 millions d' €uros !
Explications étape par étape :
■ résumé :
Q(x;y) = 20x - x² + 16y - y² + 300
avec x ; y ; et Q(x;y) en tonnes .
M1 coûte 80 k€ la tonne ; M2 coûte 60 k€ la tonne
Ventes = 20 k€ la tonne .
■ Bénéf = Ventes - Coût de produc ♥
= 20*Q(x;y) - 80x - 60y
= 400x - 20x² + 320y - 20y² + 6000 - 80x - 60y
= 320x - 20x² + 260y - 20y² + 6000
donc B(x;y) = 20(16x - x² + 13y - y² + 300) . Bénéf en k€ .
■ dérivée B ' (x;y) = 20(16 - 2x + 13 - 2y) = 40(14,5 - x - y)
cette dérivée est nulle pour x+y= 14,5 ( tonnes )
■ tableau :
x --> 3,5 7,5 8 8,5 13,5 tonnes
y --> 11 7 6,5 6 1 tonne
Q(x;y) --> 412,75 456,75 457,75 457,75 402,75 tonnes
Ventes --> 8255 9135 9155 9155 8055 k€
80x+60y --> 940 102o 103o 104o 114o k€
B(x;y) --> 7315 8115 8125 8115 6915 k€
■ conclusion :
utiliser 8 tonnes de M1 et 6,5 tonnes de M2 permet de réaliser
des Ventes de 9155 k€ avec un Coût de produc de 1020 k€,
donc de dégager un Bénéf de 8,125 millions d' €uros ! ☺
■ remarque 1 :
14,5 tonnes / (1 + 16/13) = 6,5 tonnes de M2 . ☺
■ remarque 2 :
remplaçons y par 14,5-x dans l' expression du Bénéf :
B(x) = 320x - 20x² + 260(14,5-x) - 20*(14,5-x)² + 6000
= 320x - 20x² + 3770 - 260x - 4205 + 580x - 20x² + 6000
= 640x - 40x² + 5565
la dérivée devient alors B ' (x) = 640 - 80x
qui est nulle pour x = 8 ( tonnes de M1 ) .
■ Ton prof de maths préfèrera certainement
la remarque 2 à la remarque 1 ☺
