Coucou,
Modélisons ce jeu par un tableau :
nombre de bonne.s réponse.s gain associé
1 1€
2 2€ (= 1€ * 2)
(le gain double car 1 bonne réponse supplémentaire donc ici 2€)
3 4€ (= 2€ * 2)
4 8€
5 16€
et ainsi de suite..
Tu as peut-être remarqué que la gain associé correspond à la formule 2ⁿ⁻¹ avec n le nombre de bonnes réponses.
Ex : pour n = 5, tu as 2⁵⁻¹ = 2⁴ = 16.
Réponses aux questions :
Pour répondre à ces questions, tu peux utiliser le tableau (pratique pour de petites valeurs) ou la formule (valable pour n'importe quel n).
1. Le gain associé à une série de 2 bonnes réponses :
D'après la formule 2ⁿ⁻¹ avec n = 2, on a :
2²⁻¹ = 2¹ = 2 soit un gain de 2€.
Le gain associé à une série de 5 bonnes réponses :
D'après la formule 2ⁿ⁻¹ avec n = 5, on a :
2⁵⁻¹ = 2⁴ = 16 soit un gain de 16€.
2. Le gain associé à une série de 20 bonnes réponses :
D'après la formule 2ⁿ⁻¹ avec n = 20, on a :
2²⁰⁻¹ = 2¹⁹ = 16 soit un gain de 524 288€.
Pour cette question, il est préférable d'utiliser la formule : cela est plus rapide et diminue les risques de se tromper en calculant (;
3. Margaux affirme avoir gagné exactement 20 000€. Cela signifie qu'elle a répondu n bonnes réponses. Pour savoir si cela est possible il faut vérifier que 2ⁿ = 20 000 existe, avec n un nombre entier.
On cherche donc à trouver si il existe un n tel que 2ⁿ = 20 000. Pour ce faire, on utilise la fonction ln (logarithme naturel/népérien) :
2ⁿ = 20 000
ln 2ⁿ = ln (20 000) car la fonction ln est croissante sur ]0;+∞[
n * ln 2 = ln (20 000) car ln (a) ᵇ = b * ln (a)
n = ln (20 000) / ln 2
n = 14,29 (valeur arrondie)
or, on trouve un n non entier.
Cela n'est donc pas possible car on cherchait un n entier. Donc Margaux n'a pas pu gagner exactement 20 000€.
