Réponse :
Déterminer le domaine de définition, les limites aux bornes du domaine de définition en donnant les éventuels asymptotes et la dérivée des fonctions suivantes
a) ln(2 x - 3)/(5 x + 1)
le quotient est définie si et seulement si
{2 x - 3 > 0 ⇔ x > 3/2
et { 5 x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 1/5
donc Df = ]3/2 ; + ∞[
maintenant on cherche les limites aux bornes du domaine
lim ln(2 x - 3)/(5 x + 1)
x → + ∞
ln(2 x - 3)/(5 x + 1) = ln(2 x - 3)/(2 x - 3) * (2 x - 3)/(5 x + 1)
on pose t = 2 x - 3 donc lim (2 x - 3)/(2 x - 3) = lim ln(t)/t = 0
x → + ∞ t→ + ∞
et 2 x - 3/(5 x + 1) = x(2 - 3/x)/x(5 + 1/x)
donc lim 2 x - 3/(5 x + 1) = lim (2 - 3/x)/(5 + 1/x) = 2/5
x → + ∞ x → + ∞
donc par produit lim(2 x - 3)/(5 x + 1) = 0
x → 0
lim (2 x - 3)/(5 x + 1) = - ∞
x → 3/2
donc on a deux asymptotes x = 3/2 verticale et y = 0 axe des abscisses (horizontale)
calculons maintenant la dérivée
la fonction quotient est dérivable sur Df et sa dérivée est ;
(u/v)' = (u'v -v'u)/v²
u(x) = ln(2 x - 3) ⇒ u'(x) = 2/(2 x - 3)
v(x) = 5 x + 1 ⇒ v'(x) = 5
Q'(x) = 2(5 x + 1)/(2 x - 3) - 5ln(2 x - 3)]/(5 x + 1)²
= 2(5 x + 1)/(2 x - 3) - (2 x - 3)*5ln(2 x - 3)/(2 x - 3)]/(5 x + 1)²
= 2(5 x + 1) - 5(2 x - 3)ln(2 x - 3)]/(2 x - 3)(5 x + 1)²
Explications étape par étape :
