Réponse :
a) montrer que la suite (tn) est une suite arithmétique dont vous précisez
la raison et le terme initial
pour tout entier naturel n, tn = 3/2) n - 21/4
tn+1 = 3/2)(n+1) - 21/4
= 3/2) n + 3/2 - 21/4
= ((3/2) n - 21/4) + 3/2
= tn + 3/2
donc tn+1 = tn + 3/2 CQFD
la raison r = 3/2 et le terme initial t0 = - 21/4
b) en déduire l'expression de t0 + t1 + .....+ tn en fonction de n
t0 + t1 + .....+ tn = (t0 + tn)(n + 1)/2
t0 = - 21/4 et tn = t0 + rn = - 21/4 + 3n/2)
(- 21/4 - 21/4 + 3n/2)(n + 1)/2
(- 21/2 + 3 n/2)(n + 1)/2 = [- 21/2) n - 21/2 + 3/2) n² + 3/2) n]/2
= (- 9 n + (3/2) n² - 21/2)/2
= 3/4) n² - 9/2) n - 21/4
c) après avoir reconnue la nature de la suite (wn) donner l'expression de w0 + w1 + .......+ wn en fonction de n
wn = 25/4(1/3)ⁿ est une suite géométrique de raison q = 1/3 et de terme initial w0 = 25/4
donc w0 + w1 + ......+ wn = w0(1 - (1/3)ⁿ⁺¹)/(1 - 1/3)
= 25/4(1 - 1/3ⁿ⁺¹)/2/3
= 3 x 25/4 - 3/3ⁿ⁺¹)/2 = 3 x 25/8 - 1/2 x 1/3ⁿ) = 75/4 - 1/2 x 1/3ⁿ
d) conclure alors en donnant l'expression de Sn en fonction de n
Sn = u0 + u1 + ..... + un
= (w0 + t0) + (w1+t1) + ........+ (wn + tn)
= (w0 + w1 + ......+ wn) + (t0 + t1 + ......+ tn)
= 75/4 - 1/2 x 1/3ⁿ + 3/4) n² - 9/2) n - 21/4
= 54/4 - 1/2 x 1/3ⁿ + 3/4) n² - 9/2) n
Explications étape par étape :
