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Sagot :
Réponse :
Explications :
Bonjour,
Système étudié : pierre, centre de gravité G confondu avec point M
Référentiel : terrestre considéré galiléen
V a pour coordonnées dans le repère (O; Oi, Oj) : V i = V et V j = 0
Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (balle en chute libre) donc : ∑ Forces = P pierre
1) Montrer que l'accélération de la pierre est g.
Seconde loi de Newton :
∑ Forces = P pierre = m * g = m * aG donc aG = g
2a) Établir les équations horaires x(t) et y(t) du mouvement.
Par projection sur les 2 axes du repère (O; Oi, Oj), les 2 équations différentielles du mouvement sont :
aG i = 0 et aG j = g
par intégration , on a :
VG i = K1
VG j = g * t + K2
Où K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
t = 0, VG i(0) = V donc K1 = Vo
t = 0, VG j(0) = 0 donc K2 = 0
soit : VG i = Vo et VG j = g * t
par intégration :
x(t) = Vo * t + K3
y(t) = 1/2 * g * t² + K4
Où K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
a t = 0, x(0) = 0 donc K3 = 0
a t = 0, y(0) = 0 donc K4 = 0
On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :
x(t) = V * t et y(t) = 1/2 * g * t²
Le mouvement de la balle est donc composé d'un :
- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante V sur (Oi)
- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale nulle sur (Oj).
2b) Équation de la trajectoire : éliminons le temps :
X = V * t donc t = X / V
reportons ce temps dans Y soit :
Y = g/2 * (X / V)²
Equation de la trajectoire :
Y = X² * g / (2 * V² )
2c) la durée de la trajectoire dans l’air :
soit y(t) = 1/2 * g * t² et y(t) = 20 = point d’impact = hauteur du pont
donc 20 = 1/2 * g * t² soit t² = 2 * 20 / g, prenons g = 10m/s2
et donc t = √(40/10) = 2 s
2d) Quelle est alors sa vitesse ?
V i = 10 et V j = g * t = 10 * 2 = 20
donc V pierre = √(10² + 20²) = √500 = 22.36 m/s
2e) A quelle distance de O tombe-t-elle ?
la distance cherchée correspond au déplacement horizontal séparant le point de départ du point d’impact dans l'eau :
soit x(t) = V * t avec V = 10 m/s et t = 2 s
donc distance = 10 * 2 = 20 m
Vérifiez mes calculs et mes paramètres !!
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