Réponse :
1) comparer ces deux moyennes
soit m = (a+b)/2 et g = √ab et m² = ((a+b)/2)² et g = (√ab)²
on écrit m² - g² = (a+b)²/4 - ab = (a + b)²/4 - 4ab/4 = (a²+2ab+b²-4ab)/4
= (a² - 2ab +b²)/4 = (a - b)²/4 or (a-b)² > 0 et 4 > 0 donc (a-b)²/4 > 0
ainsi on a, m² - g² > 0 ⇔ m² > g² donc m > g (car m > 0 et g > 0)
2) f(x) = 1/(x² + 3)
1) montrer que pour tous nombres a et b
f(b) - f(a) = (a-b)(a+b)/(b²+3)(a²+3)
f(b) - f(a) = 1/(b²+ 3) - 1/(a² + 3)
= (a²+3)/(b²+3)(a²+3) - (b²+3)/(b²+3)(a²+3)
= ((a²+3) - (b²+3))/(b²+3)(a²+3)
= (a² + 3 - b² - 3)/(b²+3)(a²+3)
= (a² - b²)/(b²+3)(a²+3) IDR
= (a + b)(a - b)/(b²+3)(a²+3)
donc on a bien f(b) - f(a) = (a + b)(a - b)/(b²+3)(a²+3)
2) en déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; + ∞[ puis sur
]-∞ ; 0]
sur [0 ; + ∞[ on a 0 < a < b donc f(b) - f(a) < 0 donc f est décroissante sur [0 ; + ∞[
sur ]- ∞ ; 0] on a a < b < 0 ⇒ f(b) - f(a) > 0 donc f est décroissante sur
]- ∞ ; 0]
Explications étape par étape :