Réponse :
1. f'(x) = [(2x-3)(2x+3)]/x²
2. f'(x) est positive sur ]-∞;-3/2]∪[3/2;+∞[.
f'(x) est négative sur [-3/2;0[∪]0;3/2].
3. f est croissante sur ]-∞;-3/2]∪[3/2;+∞[.
f est décroissante sur [-3/2;0[∪]0;3/2]
Explications étape par étape :
f(x) = 4x+1+(9/x)
1. f est du type u+v.
f' est donc du type u'+v'.
Soit u(x)=4x+1 et v(x)=9/x
D'où u'(x)=4 et v'(x)=-9/x²
Donc f'(x) = 4-(9/x²)
Selon l'énoncé, f'(x)=[(2x-3)(2x+3)]/x²
f'(x)=((2x)²-3²)/x²
f'(x)=(4x²-9)/x²
f'(x)=(4x²/x²)-(9/x²)
f'(x)=4-(9/x²)
2.
2x-3=0 2x+3=0 x²=0
2x=3 2x=-3 x=0
x=3/2 x=-3/2
2x-3>0 quand x>3/2 2x+3>0 quand x>-3/2 x²>0 par définiton
2x-3<0 quand x<3/2 2x+3<0 quand x<-3/2
Nous pouvons donc dresser le tableau de signe suivant :
x -∞ -3/2 0 3/2 +∞
2x-3 - - - 0 +
2x+3 - 0 + + +
x² + + 0 + +
f'(x) + 0 - II - 0 +
3. Quand la dérivée est négative, la fonction est décroissante.
Quand la dérivée est positive, la fonction est croissante.