1) [tex]u_0 = 50000[/tex], c'est en effet le nombre d'abeilles en 2015 d'après l'énoncé.
En 2016 (donc [tex]u_1[/tex]), il y a 10% de perte, il reste donc 90% des abeilles de 2015. Donc [tex]u_1 = 0.9 \times u_0 = 0.9 \times 50000 = 45000[/tex]. De la même façon [tex]u_2 = 0.9 \times u_1 = 0.9 \times 45000 = 40 500[/tex].
2.a) On peut conjecturer avec la question précédente que [tex]\forall n \geq 0, u_{n +1} = 0.9 \times u_n[/tex].
2.b) La suite [tex](u_n)_{n \in \mathbb N}[/tex][tex](u_n)_{n \in \mathbb N}[/tex] est une suite géométrique de raison [tex]q= 0.9[/tex] et de premier terme [tex]u_0 = 50000[/tex]
2.c) Puisque [tex](u_n)_{n \in \mathbb N}[/tex] est géométrique, on a [tex]\forall n \geq 0, u_n = q^n\times u_0 = 0.9^n \times 50000[/tex]
3) Soit [tex]n \in \mathbb N[/tex]. [tex]U_{n+1} - U_n = 0.9^n(0.9 \times 50000 - 50000) = - 0.9^n \times 5000 \leq 0[/tex]. Donc la suite [tex](u_n)_{n \in \mathbb N}[/tex] est décroissante.
4) Le nombre d'abeilles en 2025 est [tex]u_1_0[/tex] (2015 + 10 = 2025). On applique donc juste la définition de [tex]u[/tex], et on obtient qu'il y aura environ 17 434 abeilles en 2025.
5) A la calculatrice on a que la population d'abeille sera diminué de moitié entre 2021 et 2022. J'ai rentré la formule dans ma calcultrice et j'ai regardé quand est-ce que la valeur de la suite passé en dessous de 25 00.
