Bonsoir, voici la réponse à ton exercice :
· Points d'intersection avec l'axe des abscisses, racines de l'expression
Lorsqu'on te demande les points d'intersection de la courbe sur l'axe des abscisses, on te demande de chercher les racines de la fonction qu'on te donne. On reconnaît g(x) comme une équation du second degré, donc on va chercher les racines, c'est-à-dire lorsque g(x) = 0.
· On a donc :
[tex]x^2 - 3x + \frac{5}{4} = 0[/tex]
⇔ [tex]4x^2 - 12x + 5 = 0[/tex] # J'ai simplifié l'expression en multipliant par 4 chaque côté
· On utilise la formule du delta pour les équations du 2nd degré, tel que :
[tex]\Delta = b^2 - 4ac[/tex]
[tex]\Delta = (-12)^2 - 4\times4\times5[/tex]
[tex]\Delta = 64 = 8^2[/tex]
· Puis on cherche les racines avec la formule :
[tex]x = \frac{-b \ \± \ \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
[tex]x_1 = \frac{12 + 8}{2\times4} = \frac{20}{8} = 2,5 \\x_2 = \frac{12 - 8}{2\times4} = 0,5[/tex]
→ Donc les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses sont 2,5 et 0,5.
· Simplification de l'expression
On nous donne :
[tex]g(x) = (x - \frac{3}{2})^2 - 1[/tex]
[tex]= (\frac{2x - 3}{2})^2 - 1[/tex]
[tex]= \frac{(2x - 3)^2}{4} - 1[/tex]
[tex]= \frac{4x^2 - 12x + 9}{4} - 1[/tex]
[tex]= x^2 - 3x + \frac{9}{4} - 1[/tex]
[tex]= x^2 - 3x + \frac{5}{4}[/tex]
→ Et on retrouve la fonction [tex]g(x)[/tex] !
· Variations d'une fonction
Pour déterminer les variations d'une fonction, il faut d'abord dériver celle-ci. On a donc :
[tex]g'(x) = 2x - 3[/tex]
(Le tableau de variation est envoyé en photo)
· Inéquation g(x) ≥ 0
Je ne sais pas le résoudre graphiquement, donc on va le faire littéralement, tel que :
[tex]g(x) \geq 0[/tex]
⇔ [tex]4x^2 - 12x + 5 \geq 0[/tex]
⇔ [tex](2x - 1)(2x - 5) \geq 0[/tex]
⇔ [tex]2x - 1 \geq 0 \ ou \ 2x - 5 \geq 0[/tex]
⇔ [tex]x \leq \frac{1}{2} \ ou \ x \geq \frac{5}{2}[/tex]
→ On peut remarquer que ce sont nos racines trouvées précédemment.
· Solutions de l'équation g(x) = m
Je ne sais pas le résoudre graphiquement, donc on va le faire littéralement, tel que :
[tex]g(x) = m[/tex]
⇔ [tex]4x^2 - 12x + 5 = m[/tex]
⇔ [tex]4x^2 - 12x + 5 - m = 0[/tex]
[tex]\Delta = (-12)^2 - 4\times4\times(5 -m)[/tex]
[tex]= 144 - 80-16m[/tex]
[tex]= 64 - 16m[/tex]
Si m = 4, l'équation admet une unique solution,
Si m > 4, l'équation n'admet pas de solutions réelles,
Si m < 4, l'équation admet deux solutions réelles distinctes.
En espérant t'avoir aidé au maximum !
