Réponse :
Exercice 4
1) Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
a) f(x) = (x + 2)eˣ définie sur R
(x + 2) est une fonction polynôme dérivable sur R
eˣ est une fonction référence dérivable sur R
donc le produit de deux fonctions dérivable sur R est dérivable sur R
et sa dérivée f '(x) = (uv)' = u'v + v'u
u(x) = x + 2 ⇒ u'(x) = 1
v(x) = eˣ ⇒ v'(x) = eˣ
f '(x) = eˣ + (x + 2)eˣ
= (1 + x + 2)eˣ
donc f '(x) = (x + 3)eˣ
b) g(x) = 9eˣ/(eˣ+1) définie sur R
le quotient de deux fonctions dérivables sur R est dérivable sur R
et sa dérivée g '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = 9eˣ ⇒ u'(x) = 9eˣ
v(x) = eˣ + 1 ⇒ v'(x) = eˣ
g '(x) = (9eˣ(eˣ + 1) - (9eˣ)eˣ)/(eˣ + 1)²
= (9e²ˣ + 9eˣ - 9e²ˣ)/(eˣ + 1)²
donc g '(x) = 9eˣ/(eˣ + 1)²
2) h(x) = 3 x² - 7 x - 8eˣ définie sur R
déterminer l'équation de la tangente à la courbe Ch au point d'abscisse x = 1
h '(x) = 6 x - 7 - 8eˣ ⇒ h '(1) = 6 - 7 - 8e = - 1 - 8e
h(1) = 3 - 7 - 8e = - 4 - 8e
y = h(1) + h'(1)(x - 1) = (- 4 - 8e) + (- 1 - 8e)(x - 1)
= - 4 - 8e + (- x + 1 - x8e + 8e)
= - 4 - 8e + - x + 1 - x8e + 8e
= - 4 - x + 1 - x8e
= - 3 - (1 + 8e) x
donc y = - 3 - (1 + 8e) x
Explications étape par étape :
