Réponse :
Bonjour, je doute qu'il est possible de résoudre l'exercice uniquement avec les outils du lycée, donc je suis contraint d'introduire des notions en L1/Prépa mathématiques :
1/a Ici, on a ce qu'on appel une famille de fonction, c'est à dire une "combinaison" de suite et de fonction. Pour l'étudier, il suffit juste de trouver des cas particuliers de n ou la fonction changerai de comportement. Mais ici, comme n est un entier naturel et x un réel positif, il suffit de prendre l'entier n comme une constante négligeable.
[tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f_{n}(x)[/tex]
Pour calculer la limite, l'on constate que c'est une forme indeterminée de type "+infini/+infini"
Donc à présent, pour lever l'indetermination on introduit une notion appelé "équivalence"
On a donc :
[tex]f_n(x)= \frac{x-n}{x+n}-e^{-x} \underset{x\to+\infty}{\sim} \frac{x}{x}-e^{-x}=1-0=1[/tex]
L'idée de l'équivalence est de considérer certains termes comme négligeable devant une autre, ici on a bien un n qui est une comme une constante et un x qui tend vers l'infini, alors le n "disparaît" lorsque x tend vers l'infini.
1b/ Comme une fonction normal, si l'on souhaite étudier la variation d'une famille de fonction, on dérive et on étudie son signe. Lorsqu'on dérive une famille de fonction, on dérive uniquement les termes possédant la variable x, et on ne touche pas au n.
Donc on a :
[tex]f_n'(x)= \frac{(x+n)-(x-n)}{(x+n)^2} -e^{-x}(-1)[/tex]
[tex]f_n'(x)= \frac{2n}{(x+n)^2}+\frac{1}{e^x}[/tex]
Il est clair que comme n est un entier naturel donc positif, le quotient est un carré donc également positif et la fonction exponentielle toujours positif sur IR, donc on a bien montrer que la dérivée est positive sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex]
Donc :
[tex]f_n(x) \text{ strictement croissante sur } \mathbb{R}_+[/tex]
2/ [tex]\text{ pour calculer }f_n(n) \text{ il suffit de remplacer le x par un n}[/tex]
[tex]f_n(n) = \frac{n-n}{n+n}-e^{-n}= 0-e^{-n}=-e^{-n}[/tex]
Comme l'exponentielle est toujours positive, alors [tex]-e^{-n} \leq 0[/tex]
[tex]\text{ Donc : } f_n(n) \leq 0[/tex]
3a/ Comme indiqué dans l'énoncé, on étudiera le signe de [tex]e^{x}-2x[/tex] et si elle est positive pour tout x>1 alors on a bien montrer que e^x > 2x
Pour pouvoir faire cela, essayons d'étudier la variation de la fonction et ses extremums :
[tex]g'(x)= e^x -2[/tex]
Comme [tex]x\geq 1 \text{ On a : } e^x \geq \sim 2.7[/tex]
Donc [tex]g'(x)\geq 0[/tex] [tex]\text{ et } g \text{ croissante sur } [1;+\infty[[/tex]
calculons désormais son minimum :
[tex]e^1-2\approx 0.7[/tex]
Donc on a montrer que le minimum de g(x) est positive et que sur IR+, la fonction est toujours croissante donc on a egalement prouver que g(x) est toujours positive sur IR+
Conclusion :
[tex]\forall x \in [1; +\infty[[/tex] [tex]e^x > 2x[/tex]
3b/
[tex]e^x > 2x \\\text{ alors on a : } e^{-x} < 2x \iff e^{-x-1} < \frac{1}{2x+2}[/tex]
On a donc :
[tex]e^{-n-1} < \frac{1}{2n+2}[/tex]
et toujours selon 1b, [tex]f_n(n)\geq 0[/tex]
On a vient de montrer que : [tex]e^{-n-1} < \frac{1}{2n+2}[/tex]
Donc
[tex]f_n(n+1)= \frac{1}{2n+2}-e^{-n-1} \geq 0[/tex]
A partir de la 3c, je vous laisse continuer en vous donnant des indications :
3c/ Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
4a/ Déduire des resultats trouvés dans la 2 et 3
