Réponse :
A)
1) montrer que pour tout x , f(x) = - 1/2) x² + 2
f(0) = c = 2
f(- 2) = 4 a - 2 b + 2 = 0
f(2) = 4 a + 2 b + 2 = 0
.......................................
8 a + 4 = 0 ⇔ 8 a = - 4 ⇔ a = - 4/8 ⇔ a = - 1/2
4 * (- 1/2) - 2 b + 2 = 0 ⇔ - 2 - 2 b + 2 = 0 ⇔ - 2 b = 0 ⇔ b = 0
donc pour tout x f(x) = a x² + b x + c où a = - 1/2 ; b = 0 et c = 2
devient f(x) = - 1/2) x² + 2
2) résoudre dans R, l'inéquation f(x) > 0
f(x) > 0 ⇔ - 1/2) x² + 2 > 0 ⇔ - x² + 4 > 0 ⇔ 4 - x² > 0
x - ∞ - 2 2 + ∞
f(x) - 0 + 0 -
l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) > 0 est : S = ]- 2 ; 2[
B) g(x) = (- x² + x - 4)/x
1) Dg = R* = ]- ∞ ; 0[U]0 ; + ∞[
2) déterminer les limites aux bornes de Dg et en déduire une équation de l'asymptote verticale à la courbe (C)
lim f(x) = (- x² + x - 4)/x = ∞/∞ F.I
x→ - ∞
(- x² + x - 4)/x = x( - x + 1 - 4/x)/x = - x + 1 - 4/x
lim - x + 1 = + ∞ et lim -4/x = 0 donc par addition lim f = + ∞
x→ - ∞ x→ - ∞ x→ - ∞
lim f(x) =
x→ + ∞
lim - x + 1 = - ∞ et lim -4/x = 0 donc par addition lim f = - ∞
x→ + ∞ x→ + ∞ x→ + ∞
lim f(x) = + ∞ et lim f(x) = - ∞
x → 0 x → 0
x < 0 x > 0
x = 0 étant l'asymptote verticale qui est l'axe des ordonnées
3) montrer que g '(x) = 2f(x)/x²
g(x) = (- x² + x - 4)/x
- x² + x - 4 est une fonction polynôme dérivable sur Dg
et x est dérivable sur Dg donc la fonction quotient est dérivable sur Dg et sa dérivée g '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = - x² + x - 4 ⇒ u'(x) = - 2 x + 1
v (x) = x ⇒ v'(x) = 1
g '(x) = (x(- 2 x + 1) - (- x² + x - 4))/x²
= (- 2 x² + x + x² - x + 4)/x²
= (- x² + 4)/x²
= 2( - x²/2 + 2)/x²
= 2 f(x)/x²
4) déduire de la question A.2, le sens de variation de g et dresser le tableau de variation
f(x) > 0 sur ]- 2 ; 2[ et x² > 0 et 2 > 0 donc g est croissante
et f(x) < 0 sur ]- ∞ ; - 2[U]2 ; + ∞[ et x² > 0 et 2 > 0 donc g est décroissante
x - ∞ - 2 2 + ∞
g(x) + ∞ →→→→→→→→→ - 10 →→→→→→→→ - 6 →→→→→→→→ - ∞
décroissante croissante décroissante
5) g(x) = (- x² + x - 4)/x = a x + b + c/x
a x² + b x + c)/x a = - 1 ; b = 1 et c - 4
donc g (x) = - x + 1 - 4/x
et en déduire que la droite (D) d'équation y = - x + 1 est asymptote oblique à (C)
à la question B.2 les limites en - ∞ et + ∞ sont + ∞ et - ∞ donc la courbe admet une asymptote oblique y = - x + 1
Explications étape par étape :
