bonjour
a)
1 - 1/2 = 1/2 = 1/(1 x 2) = 1/2
1/2 - 1/3 = 3/(2 x 3) - 2/(3 x 2) = (3 - 2)/(2 x 3) = 1/(2 x 3) = 1/6
1/3 - 1/4 = 4/(3 x 4) - 3/(4 x 3) = 1/(3 x 4) = 1/12
1/4 - 1/5 = 5/(4 x 5) - 4/(5 x 4) = 1/(4 x 5) = 1/20
b)
1/n - 1/(n + 1) = (n + 1)/n(n + 1) - n/(n + 1)n = 1/n(n + 1)
on observe que l'on trouve le quotient de 1 par le produit des deux dénominateurs
c)
de b) on déduit que 1/5 - 1/6 = 1/(5 x 6) = 1/30
1/6 - 1/7 = 1/(6 x 7) = 1/42
d)
on va remplacer chaque fraction par une différence en utilisant les
égalités précédentes lues de droite à gauche
1 + 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 =
1 + 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(3 x 4) + 1/(4 x 5) + 1/(5 x 6) + 1/(6 x 7) =
1 + (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + (1/5 - 1/6) + (1/6 - 1/7) =
on supprime tous les termes opposés
il reste
1 + 1 -1/7 = 2 - 1/7 = 14/7 - 1/7 = 13/7
