8) 1) Prenons 0 et 2
S = 0+2 = 2 et 2 est bien divisible par 2 mais pas par 4
2) 3 et 5 : S = 3 + 5 = 8 = 2×4 donc divisible par 4
4 et 6 : S = 4 + 6 = 10 = 2×5 donc divisible par 2, pas par 4
Nous pouvons conjecturer que la somme de deux entiers pairs successifs est uniquement divisible par 2.
La somme de deux entiers impairs successifs est divisible par 4.
3) Soit deux nombres impairs qui se suivent : 2k + 1 et 2(k+1) + 1 avec k entier
S =
[tex]2k + 1 + 2(k + 1) + 1 = \\ 2k + 1 + 2k + 2 + 1 = \\ 4k + 4 = 4(k + 1)[/tex]
S = 4(k+1) donc divisible par 4
9) 1) Le seul nombre premier pair est 2 donc p est nécessairement impair
Le successeur d'un nombre impair est pair donc p+1 est pair
Le prédecesseur d'un nombre impair est pair donc p-1 est pair
2)
[tex]p {}^{2} - 1 = p {}^{2} - 1 {}^{2} = (p - 1)(p + 1)[/tex]
Or p-1 est p+1 sont des nombres pairs donc ils peuvent s'écrire 2K et 2K' respectivement avec K et K' entiers
p² - 1 = 2K * 2K' = 4KK' donc p² - 1 est divisible par 4
