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Bonsoir, j’ai du mal avec cette exercice, pouvez-vous m’aider s’il vous plaît. Merci beaucoup !

Soit f une fonction polynôme de degré 3 définie sur R par
f(x) = ax3 + bx² + cx+d, où a, b, c et d
sont des réels fixés avec a non nul.
On donne les informations suivantes :

• f(0) = -7:
. f(1) = -8;
• f'(0) = -4;
• la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse -2 est horizontale.

Déterminer les valeurs des réels a, b, c et d pour trouver l'expression de la fonction f.

Sagot :

bonjour

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

                       on cherche 4 nombres inconnus

on a 4 informations

• f(0) = -7:

. f(1) = -8;

• f'(0) = -4;

• la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse -2 est horizontale.

chaque information donne une équation

on obtient un système de 4 équations à 4 inconnues que l'on résout

• f(0) = -7

f(0) = d  

                 d'où   :  d = -7  (1)

• f(1) = -8

f(1) = a + b + c + d

d'où :       a + b + c + d = -8  (2)

• f'(0) = -4

f'(x) = 3ax² +2bx + c

f'(0) = c

   d'où            c = -4 (3)

• la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse -2 est horizontale.

f'(-2) = 0

f'(-2) = 3a(-2)² + 2b(-2) + c

 d'où               12a - 4b + c = 0 (4)

on connaît les valeurs de d et c

on remplace d et c par ces valeurs dans (2) et (4)

il reste un système de deux équations à 2 inconnues à résoudre

a + b + c + d = -8  (2)   devient

             a + b - 4 -7 = -8

                                     a + b = 3 (5)

12a - 4b + c = 0  (4) devient

12a - 4b - 4 = 0

3a - b - 1 = 0

                                   3a - b = 1 (6)

par addition membre à membre de -5) et -6)

                                   4a = 4    d'où   a = 1

                                   b = 3 - a d'où b = 2

  a = 1 ; b = 2 ; c = -4 ; d = -7        

                  f(x) = x³ + 2x² - 4x - 7

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