Bonsoir, voici la réponse à tes exercices (t'abuses d'en mettre 4 par contre) :
· Exercice n°1
Pour x > 4, on a :
[tex]-5\sqrt{x}+11\: < \:1[/tex]
⇔ [tex]-5\sqrt{x} < -10[/tex]
⇔ [tex]5\sqrt{x} > 10[/tex]
⇔ [tex]\sqrt{x} > 2[/tex]
⇔ [tex]\left(\sqrt{x}\right)^2 > 2^2[/tex]
⇔ [tex]x > 4[/tex]
Donc pour x > 4, l'équation est vérifiée.
On pose 7 < x < 12, on a :
[tex]2 < \sqrt{x - 3} < 3[/tex]
⇔ [tex]2 < \sqrt{x-3} \ et \ \sqrt{x-3} < 3[/tex]
⇔ [tex]2^2 < (\sqrt{x-3})^2 \ et \ (\sqrt{x-3})^2 < 3^2[/tex]
⇔ [tex]4 < x - 3 \ et \ x - 3 < 9[/tex]
⇔ [tex]x > 7 \ et \ x < 12[/tex]
Donc pour [tex]x\in ]7,12[[/tex], l'équation est vérifiée.
Exercice n°2
On a :
[tex]x^3 = 125[/tex]
⇔ [tex]x = 5[/tex]
Pour x > 4, on a :
[tex]x^3 + 1 > 65[/tex]
⇔ [tex]x^3 > 64[/tex]
⇔ [tex]x > \sqrt[3]{64}[/tex] | [tex]Pour \ u^n > a, si \ n \ est \ pair, alors \ u > \sqrt[n]{a}[/tex]
⇔ [tex]x > 4[/tex]
Donc pour x > 4, l'équation est vérifiée.
On pose - 2x < x < - 1,
Par manque de données sur [tex]x[/tex] (son ensemble), je ne peux résoudre cette équation. Ce serait partir dans [tex]\mathbb{C}[/tex] , sachant que je ne sais pas si [tex]x[/tex] est dans [tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]\mathbb{Z}[/tex] ou autre.
On a :
[tex]x^3 < 125[/tex]
⇔ [tex]x < \sqrt[3]{125}[/tex]
⇔ [tex]x < 5[/tex]
Donc pour x < 5, l'équation est vérifiée.
Exercice n°3
Pour x > 2, on a :
[tex]\frac{-5}{x\:} > \:-2,\:5[/tex]
⇔ [tex]- 5 > -2,5x[/tex]
⇔ [tex]\frac{-5}{-2,5} < x[/tex]
⇔ [tex]x > 2[/tex]
Donc pour x > 2, l'équation est vérifiée.
Montrer que [tex]\frac{-5}{x} < 0[/tex].
C'est logique à vue d'oeil, mais tu peux le démontrer avec les limites, tel que :
Pour x > 2, on a :
[tex]\lim_{x \to +\infty} - \frac{5}{x} = 0[/tex]
Donc [tex]- \frac{5}{x}[/tex] tend vers 0, mais ne l'atteindra jamais, et comme ce sera toujours une expression négative (car x > 2), ce sera toujours < 0.
Pour x > 5, on a :
[tex]0 < \frac{1}{x - 3} < 0,5[/tex]
⇔ [tex]0 < \frac{1}{x - 3} \ et \ \frac{1}{x - 3} < 0,5[/tex]
⇔ [tex]0 < 1 \ et \ 1 < 0,5(x - 3)[/tex]
⇔ [tex]0 < 1 \ et \ 1 < 0,5x - 1,5[/tex]
⇔ [tex]0 < 1 \ et \ x > 5[/tex]
Donc pour x > 5, l'équation est vérifiée.
Exercice n°4
(1) : [tex]\sqrt{x} = 3[/tex]
⇔ [tex](\sqrt{x})^2 = 3^2[/tex]
⇔ [tex]x = 9[/tex]
(2) : [tex]2\sqrt{x} - 9 = 0[/tex]
⇔ [tex]2\sqrt{x}=9[/tex]
⇔ [tex]\sqrt{x}=\frac{9}{2}[/tex]
⇔ [tex]x=\frac{81}{4}[/tex]
(3) : [tex]\sqrt{x}\le \:4[/tex]
⇔ [tex]x\le \:16[/tex]
(4) : [tex]\sqrt{x}\ge \:1.5[/tex]
⇔ [tex]x\ge \:2.25[/tex]
(5) : [tex]\sqrt{x - 2} = 3[/tex]
⇔ [tex](\sqrt{x - 2})^2 = 3^2[/tex]
⇔ [tex]x - 2 = 9[/tex]
⇔ [tex]x = 11[/tex]
En espérant t'avoir aidé au maximum !
