Réponse :
f(x) = x/(eˣ - x)
1) soit g la fonction définie sur R par g(x) = eˣ - x - 1
a) g '(x) = eˣ - 1
x - ∞ 0 + ∞
g'(x) - 0 +
g(x) + ∞ →→→→→→→→→ 0 →→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
en déduire le signe de g(x); d'après le tableau de variation g(x) > 0
b) g(x) > 0 ⇔ eˣ - x - 1 >0 ⇔ eˣ - x - 1 + 1 > 1 ⇔ eˣ - x > 1 donc eˣ - x > 0
2) f(x) = x/(eˣ - x)
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = x ⇒ u'(x) = 1
v(x) = eˣ - x ⇒ v'(x) = eˣ - 1
f '(x) = (eˣ - x - x(eˣ - 1))/(eˣ - x)²
= (eˣ - x - xeˣ + x))/(eˣ - x)²
= (eˣ - xeˣ)/(eˣ - x)²
f '(x) = eˣ(1 - x)/(eˣ - x)²
b) justifier que f est définie et dérivable sur R
f(x) = x/(eˣ - x) x est définie sur R et eˣ - x > 0 pour tout réel x donc le quotient est définie sur R
f est une fonction quotient est dérivable sur R car x est dérivable sur R et eˣ - x > 0 est dérivable sur R
f '(x) = eˣ(1 - x)/(eˣ - x)² or eˣ > 0 et (eˣ - x)² > 0 donc le signe de f '(x) est du signe 1 - x
x - ∞ 1 + ∞
f '(x) + 0 -
f(x) - ∞ →→→→→→→→→→→→ 1/(e -1) →→→→→→→→→ 0
croissante décroissante
c) y = f(0) + f '(0) x
f(0) = 0
f '(0) = 1
donc y = x équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0
Explications étape par étape :
