Réponse :
Soit P1 l'évènement "On utilise la 1ere pièce"
Soit P2 l'évènement "On utilise la 2eme pièce"
[tex]\forall i \in \mathbb{N}[/tex]
Soit [tex]F_i[/tex] l'évènement "obtenir face au i-ième lancers"
Soit [tex]P_i[/tex] l'évènement "obtenir pile au i-ième lancers"
[tex]\text{ Soit } p\in[0;1] \text{ la probabilite d'obtenir pile}[/tex]
Selon la formule des probabilités totales associé au système complet d'évènement {P1;P2} :
[tex]p(F_i)=p(P1)\times p_{p1}(F_i) +p(P2) \times p_{p2}(F_i)[/tex]
On suppose que P1 et P2 sont équiprobables
On a :
[tex]p_{p1}(F_i) =p(p_1\cap p_2 \cap \dots p_{i-1} \cap F_i)[/tex]
Par indépendance des lancers :
[tex]p_{p1}(F_i) = p(p_1) *p(p_2)*p(p_3) * \dots* p(p_{i-1}) *p (F_i)[/tex]
[tex]p_{p1}(F_i) =p*p*p*p *\dots *p *(2p)[/tex]
[tex]p_{p1}(F_i)=2p^{i}[/tex]
Et :
[tex]p_{p2}(F_i) =p(p_1\cap p_2 \cap \dots p_{i-1} \cap F_i)[/tex]
Par indépendance des lancers :
[tex]p_{p2}(F_i) = p(p_1) *p(p_2)*p(p_3) * \dots* p(p_{i-1}) *p (F_i)[/tex]
[tex]p_{p1}(F_i) =5p*5p*5p *5p* \dots *5p* p[/tex]
[tex]p_{p1}(F_i) =5^{i-1}p^{i}[/tex]
Donc :
[tex]p(F_i)=\frac{1}{2} 2p^{i}+\frac{1}{2} 5^{i-1}p^{i}[/tex]
