Réponse :
g est définie sur R par g(x) = eˣ - x + 1
1) déterminer la fonction dérivée de g
eˣ est dérivable sur R (fonction de référence)
x + 1 est un polynôme dérivable sur R
donc par somme la fonction g est dérivable sur R et sa dérivée g'
est g '(x) = eˣ - 1
2) déduis-en le sens de variation de la fonction g sur R
x - ∞ 0 + ∞
g '(x) - 0 +
g(x) + ∞→→→→→→→→→→→ 2 →→→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
lim g(x) = lim(eˣ - x + 1)
x → - ∞ x → - ∞
lim eˣ = 0 et lim - x = + ∞ donc par addition lim g = + ∞
x → - ∞ x → - ∞ x → - ∞
lim (eˣ - x + 1) = lim eˣ(1 - x/eˣ + 1/eˣ)
x → + ∞ x → + ∞
lim x/eˣ = 0 (par comparaison) et lim 1/eˣ = 0 donc par produit
x → + ∞ x → + ∞
lim g = + ∞
x→ + ∞
3) montrer que pour tout réel x, g(x) > 0
on sait que eˣ > x ⇔ eˣ - x > 0 ⇔ eˣ - x + 1 > 1 donc eˣ - x + 1 > 0
⇔ g(x) > 0
2) f est définie sur R par f(x) = x + 1 + x/eˣ
a) montrer que f '(x) = g(x)/eˣ
f '(x) = 1 + (eˣ - xeˣ)/(eˣ)²
= 1 + eˣ(1 - x)/(eˣ)²
= 1 + (1 - x)/eˣ
= (eˣ - x + 1)/eˣ
= g(x)/eˣ
b) f '(x) = g(x)/eˣ or eˣ > 0 donc le signe de f '(x) est du même que g
puisque g (x) > 0 donc f '(x) > 0 donc f est croissante sur R
Explications étape par étape :