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Bonjour j’ai besoin d’aide rapidement svp merci!

Bonjour Jai Besoin Daide Rapidement Svp Merci class=

Sagot :

Réponse :

1) [tex]f(0) = 2[/tex]

[tex]f(2) = 0[/tex]

2) La tangente à Cf en 1 est une droite horizontale, son coefficient directeur est donc nulle. Ainsi [tex]f'(1) = 0[/tex]

3) L'ordonnée à l'origine de la fonction dont la courbe est (CA) est 2 et son coefficient directeur est 1, son expression algébrique est donc [tex]x + 2[/tex].

4) Si l'on trace une droite d'équation [tex]y = 1[/tex], celle-ci coupe f en 2 points entre -10 et 2, ainsi [tex]f(x) = 1[/tex] possède 2 solutions (dans [tex][-10;2][/tex]).

5) f est croissante sur [tex][-10;1][/tex] puis décroissante sur [tex][1;2][/tex]

Partie B)

1) [tex]f(0) = (2 - 0)e^0 = (2)1 = 2[/tex] et [tex]f(2) = (2 - 2)e^2 = 0e^2 = 0[/tex]

a) On a une fonction de forme [tex]f \times g[/tex] avec [tex]f = 2-x[/tex] et [tex]g = e^x[/tex].

On sait que [tex](f \times g)' = f'g + fg'[/tex]. Ici [tex]f' = -1[/tex] et [tex]g' = e^x[/tex] Donc on a:

[tex](f \times g)' \iff -1e^x + (2-x)e^x \iff e^x(-1 + 2 -x) \iff e^x(1-x)[/tex]

La dérivée de notre fonction f initiale est donc : [tex]f'(x) = e^x(x-1)[/tex]

b) [tex]f'(1) = e^1(1-1) = e0 = 0[/tex]

2) Appelons [tex]g(x)[/tex] la tangente à cette courbe, son coefficient directeur est [tex]f'(0) =e^0(1-0) = 1 \times 1 = 1[/tex] et son ordonnée à l'origine [tex]f(0) = (2-0)e^0 = 2 \times 1 = 2[/tex] donc : [tex]g(x) = f'(0)x + f(0) = 1x + 2 = x + 2[/tex]

3) Cherchons le signe de [tex]f'(x)[/tex]:

[tex]e^x[/tex] ne peut être que strictement positif sur [tex][-10;2][/tex]

[tex](1-x)[/tex] a pour tableau de signe :

  x          -10    1      2

[tex](1 - x)[/tex]      +     0     -

Ainsi le tableau de signe de [tex]f'(x)[/tex] est:

x               -10      1        2

[tex]e^x[/tex]               +        +       +

[tex](1-x)[/tex]        +        0       -

[tex]f'(x)[/tex]           +        0       -

La dérivée de f est positive jusqu'à 1 où elle s'annule puis négative jusqu'à 2. Ainsi la fonction f est croissante sur [tex][-10;1][/tex] puis décroissante sur [tex][1;2][/tex]