eldauphin
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Bonjour est ce que vous pouvez m'aider svp ?

Problème : Maximisation de l'aire d'un rectangle inscrit dans un cercle Le plan est rapporté à un repère orthonormal (0 ; 1 ; 7). On note C le cercle de centre 0 et de rayon 1. Soit ABCD un rectangle dont les sommets sont sur C et dont les côtés sont parallèles aux axes du repère. On suppose que A est sur le quart supérieur droit de C, c'est-à-dire que ses coordonnées sont positives ou nulles. On note x l'abscisse de A, y son ordonnée. On note également f(x) l'aire du rectangle ABCD et g(x) = (f(x) )2 . Il est conseillé de traduire l'énoncé du problème par une figure.

1. a) Lorsque le point A décrit le quart supérieur droit de C, quel intervalle (fermé) décrivent les coordonnées x et y?

b) Écrire la distance OA à l'aide des coordonnées x et y, puis exprimer y en fonction de x.

c) Déterminer f(x) puis vérifier que g() = 16 (22 – 24).

2. On admet que la fonction f est dérivable sur [0;1[.

a) Soit x € (0;1[. Exprimer g'(x) à l'aide de f'(x) et de f(x).

b) En déduire que pour tout x € ]0;11, f'(x) = 17). Calculer f'(x). 2 f(x

c) Étudier les variations de f sur [0:1].

d) Tracer la courbe de f dans un repère orthogonal. On fera un tableau de valeurs avec un pas de 0,1 et on indiquera sur le dessin où se trouve la tangente horizontale.

3. D'après ce qui précède, quelles sont les dimensions du rectangle inscrit dans C dont l'aire est maximale ? Quelle est son aire ?

J'espère que vous pourrez m'aider ​

Sagot :

Réponse :

bonjour je vais te donner une méthode sans avoir besoin d'un tableau de valeurs.

Explications étape par étape :

les axes du repère sont des axes de symétrie donc le grand rectangle inscrit dans le cercle (C)  est composé de quatre rectangles identiques un dans chaque quart du disque

Etudions celui dont les coordonnées de A sont positives , soient M  le projeté de A sur [Oi) et N  le projeté de A sur [Oj)

Soit x la mesure de l'angle (vecOI; vecOA) comme le rayon du disque=1

longueur du rectangle=OM=cosx et  largeur du rectangle=ON =sinx

donc aire du rectangle A(x)=cosx*sinx=(1/2)sin2x (formule à connaître)

Etudions cette fonction  A(x)=(1/2)sin2x sur [0;pi/2]

x=0,   A(x)=0  et   si x=pi/2,    A(x)=0

Dérivée A'(x)=(1/2)*2 cos2x=cos2x

A'(x)=0 pour x=pi/4

Tableau de signes de A'(x) et de variations de A(x)

x       0                         pi/4                           pi/2

A'(x)              +               0            -              

A(x)   0      croît           A(pi/4)       décroît        0

A(pi/4)=cos(pi/4) *sin(pi/4)=1/2u.a car cos(pi/4)=sin(pi/4)=(V2)/2

OMAN est un carré de côté (V2)/2

Le rectangle  inscrit dans le cercle de rayon 1 ul a une aire maximale si c'est un carré de côté V2 ul et  son aire = 2 u.a.

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