Réponse :
1. a) Construire une figure.
xE
A |...................I.......... .......| B
| xF |
D |...................................... | C
b) placer le point E tel que vec(IF) = - 1/3vec(IC) et le point F symétrique du point E par rapport à I
c) conjecturer la situation des points B, D et F
les points B, D et F semblent être alignés
2) a) définir un repère orthonormé du plan
(D , vec(DC) ; vec(DA))
b) donner les coordonnées des différents points dans ce repère
D(0 ; 0) , C(2 ; 0) , B(2 ; 1) , A(0 ; 1) , I(1 ; 1)
E(x ; y) tel que vec(IE) = - 1/3vec(IC)
vec(IE) = (x - 1 ; y - 1)
vec(IC) = (2-1 ; 0 - 1) = (1 ; - 1) ⇒ - 1/3vec(IC) = (- 1/3 ; 1/3)
x - 1 = - 1/3 ⇒ x = 2/3 et y - 1 = 1/3 ⇒ y = 4/3
E(2/3 ; 4/3)
F est le symétrique de E par rapport à I ⇔ vec(EI) = vec(IF)
F(x ; y) ⇒ vec(IF) = (x - 1 ; y - 1)
vec(EI) = (1 - 2/3 ; 1 - 4/3) = (1/3 ; - 1/3)
x - 1 = 1/3 ⇔ x = 1 + 1/3 = 4/3 et y - 1 = - 1/3 ⇔ x = - 1/3 + 1 = 2/3
F(4/3 ; 2/3)
4) démontrer la conjecture
vec(DB) = (2 ; 1)
vec(DF) = (4/3 ; 2/3)
det(vec(DB) ; vec(DF)) = xy' - x'y = 2 *(2/3) - 4/3) * 1 = 0
les vecteurs DB et DF sont colinéaires donc on en déduit que les points B, D et F sont alignés
Explications étape par étape :
