Explications étape par étape :
A)
a) Les coûts fixes d'une entreprise représentent les coûts qui restent peu importe le nombre d'objets fabriqués. Ici, il faut regarder à 0 objets fabriqués, en effet pour 0 objets, il ne reste que les coûts fixes. On peut également le déterminer algébrique grâce à la formule algébrique de [tex]f[/tex]. En effet, pour [tex]x = 0, f(0) = \frac {1}{2}0^3 - 12 x^2 + 105,5x + 68 = 0 - 0 + 0 + 68[/tex]. Soit presque les 80 visibles sur le graphique.
b) Lorsque l'on regarde à 6 objets fabriqués, on peut lire 380 € de coût de fabrication.
c) Si l'on trace une ligne verticale à 400. On remarque qu'elle coupe la fonction [tex]f[/tex] en 8. C'est donc pour 8 objets fabriqués que le coût de fabrication est de 400 €.
B)
a) Pour 6 objets vendus on a donc [tex]6 \times 50 = 300[/tex] soit 300 € de recette.
Pour 8 objets vendus on a [tex]8 \times 50 = 400[/tex] soit 400 € de recette.
b) On remarque que les [tex]recettes = nombre\ vendus \times 50[/tex] appelons nombre vendu [tex]x[/tex]. Et l'on peut écrire la fonction g : [tex]g(x) = 50x[/tex]
c) (Tracé une droite qui passe par [tex](0;0)[/tex] et [tex](4;200)[/tex], 4 la position sur l'axe des x, des objets fabriqué et 200 la position sur l'axe des y, des coûts en euros.)
d) L'intervalle sur lequel la recette est supérieure au coûts de fabrications correspond à la portion de la courbe de la fonction g où elle se trouve au-dessus de la courbe de f. Ici, [tex][8;16][/tex] (on arrondit à 16, car on ne peut pas construire de demi-objet, a.k.a la fonction est définie sur [tex]N[/tex])
On peut interpréter cet intervalle comme l'intervalle où [tex]g(x) > f(x)[/tex]
C)
a) La fonction [tex]h(x)[/tex] est la différence entre [tex]g(x)[/tex] et [tex]f(x)[/tex], g correspond aux recettes et f aux coûts. [tex]recettes - couts[/tex] correspond aux bénéfices / marges de l'entreprise.
c)
x 0 2 4 6 8 10 12 13 14 16 18
h(x) -68 -135 -130 -77 0 77 130 140 135 68 -95
d) On voit que [tex]h(x)[/tex] connait un maximum en [tex]x = 13[/tex] avec [tex]h(13) = 140[/tex]. C'est donc pour 13 objets vendus que le bénéfice est maximal.
