kimyounatae
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soit x et y deux nombres strictement positive montrer que : 3+x²÷y²+y²÷x²>/= 2 (x÷y+y÷x)



pouvez-vous m'aider ? je dois le rendre demain svp ​

Soit X Et Y Deux Nombres Strictement Positive Montrer Que 3xyyxgt 2 Xyyxpouvezvous Maider Je Dois Le Rendre Demain Svp class=

Sagot :

Mozi

Bonsoir

On pose P(x) = x⁴ - 2x³ + 3x² - 2x + 1

P'(x) = 4x³ - 6x² + 6x - 2

P'(1/2) = 4/8 - 6/4 + 6/2 - 2 = 1/2 - 3/2 + 3 - 2 = 0

Ce polynôme admet donc un minimum en 1/2

P(1/2) = 3/5

On a donc P(x/y) ≥ 3/5 ert a fortiori P(x/y) ≥ 0

D'où

(x/y)⁴ - 2 (x/y)³ + 3(x/y)² - 2x/y + 1 ≥ 0

⇔ (x/y)² - 2 x/y + 3 -2 y/x + (y/x)² ≥ 0

⇔ 3 + (x/y)² + (y/x)² ≥ 2x/y + 2y/x

⇔ 3 + x²/y² + y²/x²  ≥ 2 (x/y + y/x)

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