Réponse :
bonsoir
Explications étape par étape :
f(x)=((1+2x)e^3x
1)Etude de f(x)
a) Domaine de définition: Df=R
b) Limites
si x tend vers -oo, f(x) tend vers 0-
si x tend vers +oo, f(x) tend vers+oo
c)Dérivée : f(x) est une fonction produit u*v sa dérivée est dond u'v+v'u.
u=1+2x u'=2 et v=e^3x v'=3e^3x
f'(x)=2*(e^3x )+3(e^3x)(1+2x)=(5+6x)e^3x
f'(x)=0 si 5+6x=0 soit pour x=-5/6
d) Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo -5/6 +oo
f'(x) - 0 +
f(x) 0- décroît f(-5/6) croît +oo
Calcule f(-5/6)=............
2) Equation de la tangente au point d'abscisse x=0; on applique la formule
y=f'(0)(x-0)+f(0) =5x+1
3) L'étude de la position relative de Cf par rapport à l'axe des abscisses revient à étudier le signe de f(x)
f(x)=0 si 1+2x=0 soit pour x=-1/2
si x<-1/2, f(x) est <0 et la courbe est en dessous de l'axe
nota quand x tend vers -oo, f(x) tenf vers 0- cet axe est une asymptote horizontale.
si x>-1/2, f(x) est >0 donc Cf est au dessus de l'axe des abscisses.