Réponse :
f(x) = 4eˣ/(eˣ + 1) définie sur R
1) déterminer le sens de variations de f
f est une fonction quotient dérivable sur Df = R et sa dérivée f ' est :
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = 4eˣ ⇒ u'(x) = 4eˣ
v(x) = eˣ + 1 ⇒ v'(x) = eˣ
f '(x) = (4eˣ(eˣ + 1) - eˣ(4eˣ))/(eˣ + 1)²
= (4e²ˣ + 4eˣ - 4e²ˣ)/(eˣ + 1)²
donc f '(x) = 4eˣ/(eˣ + 1)²
4eˣ > 0 et (eˣ + 1)² > 0 donc 4eˣ/(eˣ + 1)² > 0 ⇒ f '(x) > 0
⇒ la fonction f est croissante sur R
2) déterminer une équation de T
y = f(0) + f '(0)(x - 0)
f(0) = 4e⁰/(e⁰ + 1) = 4/2 = 2
f '(0) = 4e⁰/(e⁰ + 1)² = 4/2² = 1
donc y = 2 + x (T)
3) soit d(x) = f(x) - (x - 2)
a) vérifier que d'(x) = - (eˣ - 1)²/(eˣ + 1)²
d(x) = f(x) - (x - 2) ⇒ d'(x) = f '(x) - 1 = 4eˣ/(eˣ + 1)² - 1
= 4eˣ/(eˣ + 1)² - (eˣ + 1)²/(eˣ + 1)²
= [4eˣ - (eˣ + 1)²]/(eˣ + 1)²
= [4eˣ - (e²ˣ + 2eˣ + 1)]/(eˣ + 1)²
= (4eˣ - e²ˣ - 2eˣ - 1)/ (eˣ + 1)²
= (-e²ˣ + 2eˣ - 1)/(eˣ + 1)²
= -(e²ˣ - 2eˣ + 1)/(eˣ + 1)²
donc d'(x) = - (eˣ - 1)²/(eˣ + 1)²
b) en déduire les variations de la fonction d
d'(x) = - (eˣ - 1)²/(eˣ + 1)² or (eˣ - 1)² > 0 et - (eˣ - 1)² < 0 ; (eˣ + 1)² > 0
donc - (eˣ - 1)²/(eˣ + 1)² < 0 ⇒ d'(x) < 0 ⇒ la fonction d est décroissante sur R
Explications étape par étape :