On dispose d’un crédit de 300000 euros pour atteindre dans un désert une nappe souterraine. Le cout du forage est fixé à 1000 euros pour le premier mètre creusé, 1200 pour le deuxième mètre, 1400 pour le troisième mètre et ainsi de suite en augmentant de 200 euros par mètre creusé.
On pose 1 = 1000, 2 = 1200, désigne donc le coût en euros du ième mètre creusé.
1)
a) Calculer 5.
u1 = 1000 u2 = 1200 u3 = 1400 u4 = 1600 u5 = 1800
soit u5 = 1000 + 4 x 200
u5 = 1800
b) Exprimer +1 en fonction de .
u(n+ 1) = un + 200
Quelle est la nature de la suite () ?
suite arithmétique de raison r = 200
et de 1er terme u1 = 1000
(on passe du 1er terme à son concécutif en ajoutant 200)
c) Exprimer en fonction de pour tout entier naturel .
son expression générale est :
un = u1 +(n - 1)r
un = 1000 + (n - 1) × 200
un = 1000 + 200n - 200
un = 200n + 800
d) Quel est le cout du forage du 15ième mètre. ?
u15 = 200 × 15 + 800
u15 = 3800
coût d'un forage de 15m → 3800€
2) Pour tout entier non nul n on désigne par le coût total d’un puit de n mètres en euros.
a) Calculer le coût total pour forer un puit de 20 mètres.
→ formule de la somme : Sn = n(u1 + un)/2
→ S20 = 20(1000 + 200 x 20 + 800)/2
→ S20 = 10 x 5800
→ S20 = 58 000
coût d'un forage de 20m → 58 000€
b) Montrer que le coût total d’un puit de n mètres est
= 1002 + 900
Sn = n ( u1 + un)/2
Sn = n( 1000 + 200n + 800)/2
Sn = n( 1800 + 200n)/2
Sn = n ( 900 + 100n)
donc un puits de n mètres coûterait
⇒ Sn = 100n² + 900n
3) Déterminer la profondeur maximale que l’on peut atteindre avec un crédit de 300000 euros.
soit Sn ≤ 300 000
⇒ 100n² + 900n ≤ 300 000
⇒ 100n² + 900n - 300 000 ≤ 0 (on divise le tout par 100)
⇒ n² + 9 - 3000 ≤ 0
Le polynôme est de la forme a × n² + b x n +c ,
avec a = 1 ; b = 9 et c = -3000
le discriminant du polynôme est
Δ = (b² - 4ac)
Δ = 9² - 4 × 1 × -3000
Δ = 81 + 12 000
Δ = 12 081 > 0 donc l'équation n² + 9 - 3000 ≤ 0 admet 2 solutions
→ n1 = ( - 9 - √12081)/2 et n2 = ( - 9 + √12081)/2
→ n > 0 puisque c'est une valeur qui exprime des mètres de profondeur
→ n2 ≈ 50,45
avec un budjet de 300 000€ on pourra atteindre une profondeur d'environ 50m
bonne soirée
