Bonjour,
Déjà il faudrait s'assurer que f est bien définie
la racine carré de x n'est définie que pour x positif
de ce fait, le domaine de définition de f est IR+
1.
pour x positif, non nulm nous pouvons écrire
[tex]f(x)=x\sqrt{x}^2\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)^2\\\\=x^2\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)^2[/tex]
le deuxième terme tend vers 1 quand x tend vers plus l'infini
et le premier terme tend vers plus l 'inifini quand x tend vers plus l'infini
Du coup
[tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty[/tex]
2.
Soit x strictement positif, étudions
[tex]\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{x\left( \sqrt{x}-2\right)^2}{x}\\\\=\left( \sqrt{x}-2\right)^2[/tex]
ce rapport tend vers 4 quand x tend vers 0+, donc f est dérivable à droite de 0 et la courbe de f admet commen tangente en (0,0) la droite d'équation y=4x
3.
a)
pour x positif non nul, f est dérivable et
[tex]f'(x)=\left( \sqrt{x}-2\right)^2+x*2\left( \sqrt{x}-2\right)*\dfrac1{2\sqrt{x}}\\\\=\left( \sqrt{x}-2\right)^2+\sqrt{x}*\left( \sqrt{x}-2\right)\\\\=\left( \sqrt{x}-2\right)\left( \sqrt{x}-2+\sqrt{x}\right)\\\\=2\left( \sqrt{x}-2\right)\left( \sqrt{x}-1\right)[/tex]
b)
Un tableau de signes nous donne que
f'(x) est positif sur [0;1], f est croissante sur [0;1],
f'(x) est négatif sur [1;4], f est décroissante sur [1;4],
f'(x) est positif pour x plus grand que 4, f est croissante pour x plus grand que 4
f(0)=0
f(1)=1
f(4)=0
4. Il n'est pas difficile de montrer que
[tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{ f(x)}{x}=+\infty[/tex]
Nous avons une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées
5. c'est en pièce jointe
