Bonjour,
1) f(x) = (4x - 1) e-×
f est dérivable sur R donc sur [0;5] par produit
Si f(x) = u(x) * v(x) alors f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x) * v'(x)
Ici on pose u(x) = 4x - 1 et v(x) = e⁻ˣ
f'(x) = 4*e⁻ˣ + (4x - 1)* -e⁻ˣ
f'(x) = 4e⁻ˣ - (4x - 1)e⁻ˣ
f'(x) = e⁻ˣ * (4 - 4x + 1)
f'(x) = e⁻ˣ * (5 - 4x)
On résout f'(x) = 0
e⁻ˣ * (5 - 4x) = 0
Si A*B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Cependant la fonction exponentielle est > 0
Donc on résout juste 5 - 4x = 0 soit x = 5/4
Et 5 - 4x > 0 soit 5 > 4x soit 5/4 > x donc sur [ 0; 5/4] f'(x) positive sur cet intervalle et f est croissante dessus
De plus f'(x) est donc négative sur l'autre intervalle et f décroissante dessus
On calcule ensuite les bornes et le maximum:
f(0) = (4*0 - 1) e⁻⁰
f(0) = -1 * 1 = -1
f(5) = (4*5 - 1) * e⁻⁵
f(5) = 19e⁻⁵
f(5/4) = (4*5/4 - 1) e⁻⁵/⁴
f(5/4) = 3*e⁻⁵/⁴
Voir pièce jointe
2) Même chose que pour la 1
g est dérivable sur R donc sur [-5;3] par produit
g(x) = (x² – 5x + 7)e×
g'(x) = (2x - 5)eˣ + eˣ * (x² - 5x + 7)
g'(x) = eˣ * ( 2x - 5 + x² - 5x + 7)
g'(x) = eˣ * (x² - 3x + 2)
g'(x) = 0 soit
eˣ * (x² - 3x + 2) = 0 or eˣ > 0
donc on résout juste x² - 3x + 2= 0 qui est polynome de degré 2
delta = 1 donc 2 solutions qui sont x1 = 1 et x2 = 2 (je te laisse rédiger ça)
On en déduit que puisque g' est du signe de x² - 3x + 2 et que le coefficient devant le x² est 1 et que 1>0 alors:
g' est positive sur [-5;1[ puis négative sur ]1;2[ puis positive sur ]2;3[
( si tu ne comprends pas pourquoi voir schéma en pj)
donc g croissante sur [-5;1[ et ]2;3[ et négative sur lautre
On calcule la valeur des bornes et extremum:
g(-5) = ( 25 + 25 + 7) * e⁻⁵
g(-5) = 57e⁻⁵
g(1) = (1² - 5*1 + 7)*e
g(1) = 3e
g(2) = (2² - 5*2 + 7) * e²
g(2) = ( 4 - 10 + 7 ) *e²
g(2) = e²
g(3) = (3² - 5*3 + 7) * e³
g(3) = (9 - 15 + 7)e³
g(3) = e³
Voir photo
Bonne journée
