guilhemhammou190
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Bonjours possibilité de m'aider s'il vous plait ???


Exercice 1 : Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;i⃗ , ⃗j) .
On considère les points : A( −2 ; −1 ), B( 1 ; 5 ) et D( 5 ; 3 ).

1. Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
2. a. Calculer la distance BD.
b. On admet que AB=3√5 et AD=√65 .
Montrer que ABD est un triangle rectangle.
c. Déterminer la mesure, arrondie à 0,1° près, de l'angle ̂BAD .
3. On note (C) le cercle circonscrit au triangle ABD.
Calculer les coordonnées de son centre K (justifier) ainsi que son rayon r.
4. E est le point défini par : ⃗AE=−
3
2
⃗BD .
a. Justifier que les droites (AE) et (BD) sont parallèles.
b. Calculer les coordonnées du point E.
c. Les droites (AD) et (BE) sont-elles parallèles ? Justifier.
En déduire la nature exacte du quadrilatère ADBE.
5. Calculer les coordonnées du point F intersection de la droite (AD) avec l'axe
des ordonnées

Sagot :

Réponse :

2. a. Calculer la distance BD.

vec(BD) = (5-1 ; 3 - 5) = (4 ; - 2)  ⇒ BD² = 4² + (- 2)² = 20

⇒ BD = √20 = 2√5

b. On admet que AB=3√5 et AD=√65 .

Montrer que ABD est un triangle rectangle.

AB² + BD² = (3√5)² + 20 = 45 +20 = 65

AD² = (√65)² = 65

on a ; l'égalité  AD² = AB² + BD² qui est vraie, donc d'après la réciproque du th.Pythagore, le triangle ABD est rectangle en B

c. Déterminer la mesure, arrondie à 0,1° près, de l'angle ̂BAD .

sin ^BAD = BD/AD   ⇔ sin ^BAD = √20/√65 = √(20/65) ≈ 0.5547

⇒ ^BAD = arcsin(√(20/65) ≈ 33.7°

3. On note (C) le cercle circonscrit au triangle ABD.

Calculer les coordonnées de son centre K (justifier) ainsi que son rayon r.

K est le milieu de (AD) :   K((-2+5)/2 ; (3-1)/2)) = K(3/2 ; 1)

r = AD/2 = √65)/2

4. E est le point défini par : vec(⃗AE)=−3/2vec(BD)

a. Justifier que les droites (AE) et (BD) sont parallèles.

les vecteurs AE et BD sont colinéaires  car il existe un réel k = - 3/2

tel que vec(AE) = - 3/2vec(BD)   donc les droites (AE) et (BD) sont parallèles

b. Calculer les coordonnées du point E.

soit  E(x ; y)  tel que vec(AE) = - 3/2vec(BD)

vec(AE) = (x + 2 ; y + 1)

vec(BD) = (4 ; - 2)  ⇒ - 3/2vec(BD) = (- 3/2 * 4 ; - 3/2 * (- 2)) = (- 6 ; 3)

x + 2 = - 6  ⇔  x = - 8  et  y + 1 = 3  ⇔ y = 2

E(- 8 ; 2)

c. Les droites (AD) et (BE) sont-elles parallèles ? Justifier.

En déduire la nature exacte du quadrilatère ADBE.

vec(AD) = (5+2 ; 3+1) = (7 ; 4)

vec(BE) = (-8-1 ; 2- 5) = (-9 ; - 3)

det(vec(AD) ; vec(BE)) = xy' - x'y = 7*(- 3) - (- 9)*4 = - 21 + 36 = 15 ≠ 0

donc les vecteurs AD et BE  ne sont pas colinéaires  donc les droites (BE) et (AD) ne sont pas parallèles

le quadrilatère ADBE est un trapèze  car les droites (BD) et (AE) sont //  

Explications étape par étape :

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