Bonjour,
Soit [tex]f[/tex] la fonction définie sur [tex]$\mathbb{R}[/tex] par [tex]f(x)=(x^{2} -2,5x+1)e^{x}[/tex].
1) Pour tout réel [tex]x[/tex], la fonction dérivée de [tex]f[/tex] est :
[tex]f'(x)=(x^{2} -2,5x+1)'(e^{x})+(x^{2} -2,5x+1)(e^{x})'\\\\f'(x)=(2x-2,5\times1 +0)e^{x}+(x^{2} -2,5x+1)e^{x}\\\\f'(x)=(2x-2,5)e^{x}+(x^{2} -2,5x+1)e^{x}\\\\f'(x)=(2x-2,5+x^{2} -2,5x+1)e^{x}\\\\f'(x)=(x^{2} -0,5x-1,5)e^{x}[/tex]
2) Etudions le signe de la dérivée.
- La fonction exponentielle est strictement positive sur [tex]$\mathbb{R}[/tex], donc pour tout réel [tex]x[/tex], on a [tex]e^{x} > 0[/tex].
- On étudie alors le signe de [tex]x^{2} -0,5x-1,5[/tex], sachant que c'est un polynôme du second degré.
Or, [tex]\Delta=(-0,5)^{2}-4\times 1\times (-1,5)=6,25[/tex]
Donc : [tex]\sqrt{\Delta} =\sqrt{6,25}=2,5[/tex]
Comme [tex]\Delta=6,25 > 0[/tex], ce polynôme possède deux racines distinctes :
[tex]x_{1}=\dfrac{0,5-2,5}{2} =\dfrac{-2}{2} =-1 \\\\\\x_{2}=\dfrac{0,5+2,5}{2} =\dfrac{3}{2} =1,5[/tex]
Ainsi, [tex]x^{2} -0,5x-1,5[/tex] est du signe de [tex]a=1[/tex], c'est-à-dire positif à l'extérieur des racines, donc sur l'intervalle [tex]]-\infty;-1]\cup[1,5;+\infty[[/tex] et du signe de [tex]a=-1[/tex], c'est-à-dire négatif à l'intérieur des racines, donc sur l'intervalle [tex][-1;1,5][/tex].
Par conséquent :
- [tex]f'(x) > 0[/tex] sur [tex]]-\infty;-1]\cup[1,5;+\infty[[/tex]
- [tex]f'(x) < 0[/tex] sur [tex][-1;1,5][/tex]
- [tex]f'(x)=0[/tex] si [tex]x[/tex] ∈ [tex]\{-1;1,5\}[/tex]
On en déduit les variations de la fonction [tex]f[/tex] :
- Sur l'intervalle [tex]]-\infty;-1]\cup[1,5;+\infty[[/tex], la fonction [tex]f[/tex] est croissante.
- Sur l'intervalle [tex][-1;1,5][/tex], la fonction [tex]f[/tex] est décroissante.
Cette étude se résume dans le tableau de variations de [tex]f[/tex] :
Valeurs de [tex]x[/tex] -∞ -1 1,5 +∞
Signe de [tex]f'(x)[/tex] + 0 - 0 +
Variations de [tex]f[/tex] [tex]$\nearrow[/tex] 1,66 [tex]$\searrow[/tex] -2,24 [tex]$\nearrow[/tex]
2)a)
Cherchons une équation de la tangente [tex]\mathcal{T}[/tex] à [tex]\mathcal{C}_{f}[/tex] au point A d'abscisse 0.
On a :
- [tex]f(x)=(x^{2} -2,5x+1)e^{x}[/tex]
- [tex]f'(x)=(x^{2} -0,5x-1,5)e^{x}[/tex]
Donc :
[tex]f(0)=(0^{2}-2,5\times 0+1)e^{0}=1\times1=1[/tex]
[tex]f'(0)=(0^{2}-0,5\times 0-1,5)e^{0}=-1,5\times 1=-1,5[/tex]
Donc l'équation de la tangente [tex]\mathcal{T}[/tex] à [tex]\mathcal{C}_{f}[/tex] au point A d'abscisse 0 est :
[tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)\\y=-1,5(x-0)+1\\y=-1,5x+1[/tex]
b)
A l'aide de la calcultrice, on trouve que l'abscisse [tex]a[/tex] du point [tex]P[/tex] est comprise entre [tex][1,7;1,8][/tex].
Prends tranquillement le temps de relire ma réponse : tu peux en effet adapter la rédaction.
En espérant t'avoir aidé.
